Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Стоханическое исчисление
Автор: Анулова С.В.Другие авторы: Веретенников А.Ю., Крылов Н.В., Липцер Р.Ш.
Издательство: ВИНИТИ
Год издания: 1989
Страницы: 260
Читать: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93
Скачать:
С.В.Анулова, А.Ю.Веретенников, Н.В.Крылов, Р.Ш.Липцер, А.Н.Ширяев СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем. Фундам. направления. — ВИНИТИ, 1989. Т. 49. С. 5—260 Изложены основные вопросы стохастического исчисления, относящиеся к: свойствам винеровского процесса и его связи с уравнениями в частных производных, рассмотрены сильные и слабые решения стохастических дифференциальных уравнений, эволюционные уравнения. Большое внимание уделено стохастическому интегрированию по семимартингалам и случайным: мерам, абсолютной непрерывности и сингулярности вероятностных мер, предельным теоремам для семимартингалов.
Предисловие 7
Глава 1. Введение в стохастическое исчисление (Н. В. Крылов) 9
§ 1. Броуновское движение и винеровский процесс 9
§ 2. Вероятностная конструкция решения уравнения теплопроводности. 18
Связь винеровского процесса с оператором Лапласа
§ 3. Интеграл Ито и правила дифференцирования сложных стохастических 21 функций
§ 4. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные 30
процессы. Теоремы Гирсанова
§ 5. Стохастические дифференциальные уравнения с граничными условиями 37
Литература 40
Глава 2. Стохастические дифференциальные и эволюционные 42 уравнения
I. Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ) (С .ВАнулова, 42
А.Ю.Веретенников)
§ 1. Сильные решения стохастических дифференциальных уравнений 42
§ 2. Слабые решения стохастических дифференциальных уравнений с 54
негладкими коэффициентами в Ed
§ 3. Дифференцирование решений СДУ по начальным данным 59
§ 4. Инвариантная мера диффузионного процесса 62
§ 5. Носитель диффузии 64
§ 6. Стохастические дифференциальные уравнения в областях 68
Литература 77
II. Стохастические эволюционные уравнения (А. Ю. Веретенников) 80
§ 1. Введение 80
§ 2. Мартингалы и стохастические интегралы в гильбертовых пространствах 81
§ 3. Формула Ито для квадрата нормы 86
§ 4. Стохастические дифференциальные уравнения монотонного типа в 87
банаховых пространствах
§ 5. Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных. 90 I. Первая краевая задача для нелинейных уравнений параболического типа § 6. Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных. 92
II. Задача Коши для линейных уравнений второго порядка
Литература 94
III. Стохастическое исчисление вариаций (исчисление Маллявэна). 95
Применения к стохастическим дифференциальным уравнениям
(А.Ю. Веретенников)
§ 1. Введение 95
§ 2. Стохастические производные 96
§ 3. Правила исчисления Маллявэна 100
§ 4. Гладкость плотности (схема доказательства) 102
§ 5. Подход Висмута. 1. 104
§ 6. Подход Висмута. 2. Стохастические дифференциальные уравнения 105 § 7. Стохастические дифференциальные уравнения (гладкость плотности по 111
обратным переменным)
Литература 113 Глава 3. Стохастическое исчисление на вероятностных пространствах с 114 фильтрациями (Р.Ш.Липцер, А.Н.Ширяев)
I. Элементы общей теории случайных процессов 114 § 1. Аксиоматика Колмогорова и стохастический базис 114 § 2. Моменты остановки, согласованные случайные процессы, опциональная 116
и предсказуемая 0-алгебры. Классификация моментов остановки
§ 3. Мартингалы и локальные мартингалы 120
§ 4. Возрастающие процессы. Разложение Дуба-Мейера. Компенсаторы 122
§ 5. Случайные меры. Целочисленные случайные меры 124
§ 6. Локально квадратично интегрируемые мартингалы. Квадратическая 126 характеристика
§ 7. Разложение локальных мартингалов 127
II. Семимартингалы. Стохастические интегралы 128 § 1. Семимартингалы. Квадратическая вариация. Квазимартингалы 128 § 2. Конструкция стохастических интегралов по семимартингалам 130 § 3. Формула Ито 133 § 4. Конструкция стохастических интегралов по случайным мерам 134 § 5. Характеристики семимартингалов. (Триплет предсказуемых 136
характеристик T=(B, C, v). Проблемы мартингалов и семимартингалов. Примеры
§ 6. Интегральное представление локальных мартингалов 140
§ 7. Устойчивость класса семимартингалов относительно ряда 141 преобразований
III. Абсолютная непрерывность и сингулярность вероятностных 142
распределений
§ 1. Локальная плотность. Разложение Лебега 142
§ 2. Теорема Гирсанова и ее обобщение. Преобразование предсказуемых 144 характеристик § 3. Интеграл Хеллингера и процесс Хеллингера 146
§ 4. Общие и предсказуемые критерии абсолютной непрерывности и 149
сингулярности вероятностных мер
§ 5. Частные случаи 151
Комментарий к главе 3 155
Литература 157
Глава 4. Мартингалы и предельные теоремы для случайных процессов 159 (Р.Ш. Липцер, А.Н.Ширяев)
I. Теория: слабая сходимость вероятностных мер на метрических 159
пространствах
§ 1. Введение 159
§ 2. Разные типы сходимостей. Топология Скорохода 161
§ 3. Краткий обзор ряда классических предельных теорем теории 167 вероятностей
§ 4. Сходимость процессов с независимыми приращениями 180
§ 5. Сходимость семимартингалов к процессам с независимыми 191 приращениями
