Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
ре |ф| відо If (Xt) (то есть функция ф изменяется только
на множестве {ХгбсЮ} и приращения ф в точке і «имеют направление» из
Теорема 1.34. Пусть верно одно из следующих предположений:
1) О ограниченная выпуклая область, 4 —- поле нормалей
.([56]);
2) O= {xGEd : хг> 0, i=l, ..., d}, после у на грани {л:г = 0} задается і-ой строкой (ра,..., pid) матрицы Р, у которой на диагонале единицы, остальные элементы неположительны и спектральный радиус матрицы (I-P) строго меньше 1 (на пересечении граней 4 — нормированное выпуклое замыкание своих значений на соответствующих гранях) ([43]).
Тогда для любой WGC с W0GO существует единственное решение задачи Скорохода Ф (№). Отображение Ф : С->С непрерывно.
Следствие 1. В условиях теоремы 1.34 Ф — измеримый С-согласованный процесс на С.
Следствие 2. Пусть O= (^Gfd : X1X)), f — нормаль к граничной гиперплоскости. Тогда Ф определяется формулой
<Dj(W)=_ inf WiAO1 O11 = W1,, i = 2,...,d.
3. Стохастическое дифференциальное уравнение с отраже-
нием. Пусть на [0, оо)ХС заданы функции о = Ot(X) и Ь =
= bt(X) со значениями в пространстве dX^-матриц и в Ei, со-
ответственно, являющиеся С-согласованными случайными про-
цессами. Через ||o|i будем обозначать -к tree*.
70: Рассмотрим в О стохастическое дифференциальное уравнение с отражением на границе:
dXt=at{X)dWt+bt{X)dt+d<vt. (1.28)
Определение 1.5. Слабым решением уравнения (1.28) называется процесс X со значениями в О и непрерывными траекториями, определенный на некотором стохастическом базисе (й, У, F, Р) с F-винеровским процессом W такой, что X F-согласован, процесс
Ф= L=xt - X0- J (7, (X) dWs-Ijbs (X) ds, ta [0, оо))
имеет локально ограниченную вариацию | ф | и d<?t
d- ! Ф It
Є hoy (Xt) dPd І ф — почти всюду.
Определение 1.6. Слабое решение уравнения (1.28) называется сильным, если оно согласовано с потоком, порожденным X0 и W.
Теорема 1.35. Пусть о ч k ограничены и при каждом t непрерывны по X. Если задача Скорохода имеет единственное решение Ф и отображение Ф : С-»-С непрерывно, то уравнение (1.28) имеет слабое решение при любом начальном распределении в О.
Доказательство основывается на следующем наблюдении: если X — решение, то в силу единственности решения задачи Скорохода Х=Ф(У) с
t t Yt = Xq + I os (X) dWs + J bs (X) ds, /Є [0, оо),
о о
а значит,
dYt = Ot (Ф (Y) )dWt+bt(<b (Y)) dt. (1.29)
Теперь воспользуемся рассуждением в «обратном направлении». В силу варианта теоремы 1.19, 1) § 2 уравнение (1.29) с данным начальным распределением имеет слабое решение. Но тогда X = Ф(У) удовлетворяет (1.28).
Замечание. Мы нигде не встречали этой простой теоремы. Во всех работах по стохастическим дифференциальным уравнениям с отражением [3], [43], [45], [56] авторы, установив существование, единственность и непрерывность решения задачи Скорохода, для доказательства существования решения (1.28) привлекают специальные конструкции — сжимающие отображения, замену времени.
С помощью теорем 1.34 и 1.35 можно получить следующую теорему.
71: Теорема 1.36. Пусть о и b ограничены и при каждом t непрерывны по X. Уравнение (1.28) имеет слабое решение в каждом из следующих случаев:
1) О — выпуклая ограниченная область, j — поле нормалей;
2) 0={x?Ed:xl> 0, 1.....d}, 4 |к=0}
— постоянный вектор, г= 1, . . . , d (на пересечениях граней f — нормированное выпуклое замыкание своих значений на соответствующих гранях);
3) О ограничено, О и у С2-гладкие, проекция у на нормаль к границе положительна.
Доказательство. В условиях 1) и 2) утверждение теоремы есть непосредственное следствие теорем 1.34 и 1.35. В условиях 3) решение существует локально: надо взять карту, в которой граница имеет вид гиперплоскости, а поле f — нормали к ней. В силу ограниченности коэффициентов и вида Ф (следствие 2 теоремы 1.34), процесс не может слишком часто менять карты атласа, а значит, его можно определить на [0, оо).
Применяя технику локализации (см. гл. 10 [51]), можно получить следующие результаты в неограниченных областях с растущими коэффициентами.
Теорема 1.37. Пусть функции о и b при каждом t непрерывны по X и для некоторого с>0 при всех t,X
омі2+m (X) < с о+sup і Xj р).
s<t
Слабые решения уравнения (1.28) существуют в каждом из следующих случаев:
1) О — выпуклая область, f — поле нормалей ([56]);
2) выполнено предположение 2) теоремы 1.36;
3) О — полупространство, f — C2 — гладкое поле, проекция 1Y на нормаль равномерно положительна,
( 2 (fflO2 + W < с (1 + sup I xl I2).
\г=і Jt s<t
Доказательство. Для простоты пусть X0=OeO. Под C(c, t) будем понимать различные константы, зависящие только от с и t.
1°. Для любой ограниченной области мы можем построить локальное решение —до момента выхода из этой области. Для доказательства существования глобального решения достаточно показать, что все локальные решения равномерно ограничены по вероятности на конечных временных интервалах, см. гл. 10 [51].
2°. Пусть на стохастическом базисе (Q, F, Р) заданы. ??-мерный F-винеровский процесс W и измеримые F-согласован-ные процессы: Z в [0, оо) с непрерывными траекториями, т в
