Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
X= E (Xt I Srs) (Xt I Sr), Xs^E (Xt I &-s)), P — п. н.
Ряд нижеследующих фундаментальных свойств введенных процессов был дан, в основном, Дж. Дубом.
Теорема 3.5. Пусть X — супермартингал такой, что существует интегрируемая случайная величина У с Xt^ >E(Y\ff-t),tGR+. Тогда
a) — п. н.), где Xe0 — некоторая (конечная) случайная величина (называемая терминальной)-,
b) если о и т — два марковских момента, то случайные величины Xa и Xx интегрируемы и
Ха^Е(Хг\ТП)
на множестве {с<т}. В частности, (остановленный» процесс xх =(xt/\x)t>o снова является супермартингалом.
Класс всех мартингалов, заданных на стохастическом базисе будем обозначать Jt (<М) или Jl. Через Jl обозначим подкласс Л, состоящий из равюмерно интегрируемых мартингалов x, т. е. мартингалэз, для кзторых семейство случайных величин (Xt)t?R+ является равномерно интегрируемым:
sup Е(| xi \i(\xt\>n))->§, n-> оо .
Теорема 3.6. 1) Если XGJt, то существует такая интегрируемая случайная величина X00, что
xt-^xao (р —п. h.), *->оо, Xt = E(Xx.\3-t), t> 0, (Р-п.н.)
E 1Л", — Xcol^O, t-> ОО, ^XAa = E (AT0 I^,) (Р-П.Н.) ДЛЯ любых марковских моментов t И СТ, процесс (Л^)о<*<со является мартингалом.
2) Если У — интегрируемая случайная величина, то существует один и только один мартингал XGM такой, что
Xt = E(Yiyt). *>0 (Р-п.н.).
3) Если (тя)л>Г— возрастающая последовательность марковских моментов, то
Iim Xx= E (XlimtJ V^tJ (Р-п.н.).
п
В частности, если т — предсказуемый момент, то
120: XT_=E(Xt|^t_) (Р —П. н.)
4) Каждый равномерно интегрируемый мартингал X принадлежит классу D, т. е. семейство случайных величин {Xt : х — конечнозначные марковские моменты} является равномерно интегрируемым.
В общей теории случайных процессов важную роль играет класс Ж2 квадратично интегрируемых мартингалов, т. е. таких, что
sup Ех\ < оо . t> о
Ясно, что ж2<=Ж. Мартингал Х?Ж2 тогда и только тогда, когда «терминальная» величина X00 из теоремы 3.6 является квадратично интегрируемой. В этом случае Е|Х(—xxji2-^O,
/—>-оо.
Если ХєЖ2, то имеет место неравенство (Колмогоров, Дуб)
E/sup X2A <4 sup ЕХ? = 4ЕХІ. І'Є*+ !
Интересная и полезная характеризация¦ класса равномерно интегрируемых мартингалов дается следующей теоремой.
Теорема 3.7. Пусть X — согласованный процесс класса D с терминальной величиной Xao (т. е. Xxi есть предел Iim Xt
t-*-cо
(Р — п. н.)) Тогда X — равномерно интегрируемый мартингал тогда и только тогда, когда для всякого марковского момента т величина Xt интегрируема и ext = ex0.
2. Введению понятия «локальный мартингал» предпошлем следующее
Определение 2. Пусть S7 — некоторый класс случайных процессов. Мы говорим, что процесс X принадлежит классу 2?1ос, если и только если существует такая неубывающая последовательность марковских моментов (t„)„>і (зависящая, вообще говоря,
от X), что Iimtn=OO и каждый остановленный процесс X п(и§. Последовательность (т„)
л>і в этом случае называется локализующей для процесса X.
Отправляясь от этого определения и классов Ж и Ж2 вводятся классы J^I0c и 3$\ас — классы локальных мартингалов и локально квадратично интегрируемых мартингалов. Ясно, что
jr,„c) anpc^?L-
В случае дискретного времени и очевидным образом определяемого «дискретного» стохастического базиса Sr, F = = (&~п)п>о, Р) можно дать следующую характеризацию класса локальных мартингалов
Теорема 3.8. Пусть X=(Xn)nss0 — согласованный процесс. Тогда X — локальный мартингал в том и только том случае, когда
121: a) EI Ar01 < оо,
b) E (I Arn 11*F„_i) < оо (P-n. H.), «>1,
c) EkXn\Fn-,) = Xn_x (Р-п. H.), n> 1.
(Здесь E(X„|^"„_i) есть «расширенное» условное математическое ожидание, определяемое не только в предположении Е|Х„|<;оо, а лишь в предположении, что Е( |Xn \ <.
<оо (Р —п. н.).)
§ 4. Возрастающие процессы. Разложение Дуба — Мейера.
Компенсаторы
1. Наряду с мартингалами и локальными мартингалами существенную роль в общей теории случайных процессов играет понятие «возрастающий процесс».
Определение 1. Согласованный процесс A = (At)t^ о класса D с A0 = О называется возрастающим процессом, если каждая траектория t—является неубывающей функцией. Класс возрастающих процессов обозначается У+.
Через У обозначим класс У+&У+, т. е. класс всех согласованных процессов с траекториями из D, имеющих конечную вариацию (на каждом интервале [0, f], tGR+).
Если A^T и H — опциональный процесс (значит, ^->//<(со) есть борелевская функция для каждого со), то можно определить
где все рассматриваемые интегралы понимаются как интегралы Лебега-Стилтьеса.
Если AGy и H — опциональный процесс, то B = HoA является опциональным процессом. Если к тому же А и H — предсказуемы, то таким же является и процесс В.
В классе У+ (соответственно У) выделим подкласс (соответственно S^) процессов, для которых EAоо <С оо (соответственно E[Var ЛІооСоо). Ясно, что s&=s4-+Q
Используя введенную выше процедуру локализации, можно ввести классы У]~ос, Уюс, ^ioc и -S^ior.
В следующей теореме собран ряд свойств введенных процессов.
