Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
сходимость с вероятностью единица, или почти наверное
(Р-п.н.)^Р (E^I)=O^ -^P (sup | Im-і I > є)-*0, /l-s- OO .
Сходимость по распределению, или по закону
InM, ln^l^Fn(x)^F(x), xeC(F),
где С (F) — множество точек непрерывности предельной функции распределения F (Fn(х) = P F (х) = Р(§<х)).
Последнюю сходимость эквивалентным образом можно выразить как слабую сходимость
J g (x)dFn (*)-> J g(XYdF(X), VgeBC
R R
(ВС—класс ограниченных непрерывных функций).
В том случае, когда идет речь о случайных векторах =
d О?
|=(Ei, ..., Ik), ТО под их сходимостью или понимают
слабую сходимость соответствующих конечномерных распределений РЯ(.) = Р(?"6-). P(.) = P(ie-), т. е.
jj g(x)Pn(dx)->^ g(x)P(dx), geBC.
Rn Rn
2. На случайный процесс (скажем, X= (Xi) <s>0) можно смотреть (и определять) разными способами:
а) как семейство случайных величин Xt, ^O; в) как случайную функцию, или случайный элемент в некотором функциональном пространстве;
с) как меру в функциональном пространстве. Рассматриваемым основным функциональным пространством у нас будет пространство
D = {x : X= (xt) t^o cad lag}
— пространство функций без разрыва второго рода, т. е. пространство функций непрерывных справа и имеющих пределы слева (cad lag — continu a droite avec des limites a gauche). Через С будем обозначать подпространство пространства D, состоящее из непрерывных функций: R+-+E1 (в общем случае: R+-+E*).
162: В пространстве С можно ввести локально равномерную топологию, ассоциированную с метрикой
б/Л«, ?) = 2 2^1 All a-? Ik), (4.3)
N
где CC==CC(t), ? = ?(0. и II ос — ? IIyv = Sup I OS(S) — ?(s)[.
Относительно этой локально равномерной метрики пространство С является полным и сепарабельным (иначе — польским). Оно является основным при изучении непрерывных процессов X = = (Xt)tssO, которые можно рассматривать как случайные элементы со значениями в пространстве С. В этом пространстве выделяются две о-алгебры:
#и(С)—цилиндрическая о-алгебра, т. е. порожденная множествами вида B= {х : (xt, , . . . , xtk)GAh}, где Ak — борелевские множества в Ek
и
&(С) — борелевская а-алгебра, т. е. порожденная всеми открытыми (в метрике б їй) подмножествами. Обе они, оказывается, совпадают;
Яц(С) =^(C).
Понятно, что наличие метрики б/ц позволяет говорить о слабой сходимости (Pre-^-P) распределений вероятностей Pn к Р, где Pn(B) =Р{& :ХпС*В}, P(B) =Р{ш : XdB}, Be.3S(C), определяемой как сходимость
с с
для каждой непрерывной (в метрике д1и) ограниченной функции S=S(X).
W
Слабую сходимость Р"->Р расрределений вероятностей про-
S
цессов Xа к X мы будем обозначать также Xlt-^X, говоря,, что Xn сходится по закону (по распределению) к X. Нам понадобится также говорить о сходимости
S(S)
Xn -V
понимая под этим слабую сходимость всевозможных конечномерных распределений векторов (Х^, ..., Xnt^ к (Xtl, ¦ ¦ Xtk), где
tu ...,t&S. Тем самым, если 5 = /?+, то запись
Х^Х,
будет означать слабую сходимость всех конечномерных распределений процесса Xn к X.
11* 163 SE S(R+) Из Xn-*X следует сходимость Xn-^X (напомним, что
Xn, X — непрерывные процессы). Обратное, вообще говоря, не
верно, что сразу видно на простом примере, в котором Xi== 0, а
Xn сосредоточено на одной траектории, изображенной на рисунке:
'IA'
1 t
Ясно, что Xn-+-+Х, но Хп+*Х, поскольку для g(х) = sup J л:
имеем f ё'(лг)— 1, a Jg(x)dP = 0. (Напомним, что из схо-
димости Xn-^X будет следовать сходимость Хп-*Х, если
семейство ,мер (Pn) является относительно компактным).
3. Если обратиться теперь к пространству D и снабдить его локально равномерной топологией, то выяснится, что хотя оно и будет полным, но не будет сепарабельным. Например, семейство функций as(0 =As, оо)(0. rAe параметр sG[0,l), несчетно, но oiu(a,s, Gts') = 2 для s=jt=s'. Это обстоятельство, в частности, приводит к тому, что в общей ситуации борелевская a-алгебра 3)1и оказывается строго шире, нежели цилиндрическая а-алгебра Mn(D),
®lu=>Mn(D),
и тем самым, если мы рассматриваем множества вида B = (со: X. (со) 6Л} =A"1 (А)
для AGSDlu, то совсем не ясно, что BGF, а значит, и не ясно, можно ли вообще говорить о вероятности множества В, поскольку оно не обязано быть «событием», т. е. принадлежать F. Такого, как видели выше, не случается в пространстве С: если /4???(С), то BGF, т. е. В является событием, для которого вероятность P(?) определена. Отметим, между прочим, что a-алгебра Фіи\0], порожденная замкнутыми шарами, совпадает с M(D), но ?>°іи[0] строго меньше 3>ги-.
Mn(D) =25(tt[0]c2)iu.
В пространстве D существует, однако, метризуемая топология, называемая топологией Скорохода, которая делает пространство D полным сепарабельным метрическим пространством. Эта топология характеризуется тем, что последовательность функций (ап) сходится к функции а, если и только если существует последовательность замен времени (Xn) GA (А — множество непрерывных строго возрастающих функций с
164: X(O)=O, ^t00) такая, что
