Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
2. Пусть V, H — сепарабельные банаховы пространства, VczH, и оператор вложения V-*-H непрерывен (т. е. YvGV
IMU<W|i>|v,
Лемма 2.1. а) Если х — случайная величина со значениями в V (относительно борелевской а-алгебры V), то х — случайная величина со значениями в Н.
б) Если X — случайная величина со значениями в Н, то {ш :х(ш)GV}egr.
Дадим определение мартингала со значениями в действительном гильбертовом пространстве H и стохастического интеграла по такому мартингалу. При этом будем рассматривать только сильно (т. е. по норме) непрерывные по t мартингалы m=m(t, ш), множество всех значений которых сепарабельно.
6—7927 6
81Обозначим через Hi замкнутую линейную оболочку множества значений m(t, со), Z^O, co6Q. Если h(t, ы) J-Hu то естествен-t
но положить J h(s, (a)dtn(s, со) =0. Поэтому достаточно опре-о
делить интегралы от функций со значениями в H1. По этой причине естественно следующее предположение, действующее до конца параграфа: Я— сепарабельное гильбертово пространство и Я* отождествлено с Я.
При hi, h2GH через h\h2 обозначаем скалярное произведение hi и hi, \h \ —норма h&H.
Пусть G — под-о-алгебра ST, х — случайная величина в Н, и Е\х\ <оо.
Определение 5. Условным математическим ожиданием х относительно G называется такая случайная величина E(x|G) со значениями в Я, что при любом г/ЄЯ
yE(x\G)=E(yx\G) (п.н.).
Определенная таким образом случайная величина существует и единственна (п. н.).
Определение 6. Случайный процесс x(t), 0, со значениями в Я называется мартингалом относительно потока (&~t)> если
а) X является (&~t) —согласованным в Я,
б) E|jc(Z) I <оо,
в) E(jc(Z) =jc(s) п. н. при всех O^s^Z.
Из эквивалентности трех понятий измеримости в сепарабель-ном пространстве вытекает
Теорема 2.2. Случайный процесс x(t), Z^0, со значениями в Я и конечным математическим ожиданием E|jc(Z) |<°°, Z^О, является мартингалом относительно потока тогда и толь-
ко тогда, когда одномерным мартингалом относительно является процесс yx(t) при любом г/бЯ.
Определение 7. Процесс х(Z), Z^O, со значениями в Я называется локальным мартингалом, если существует такая последовательность марковских моментов т„|оо (п. н.), что x(tДт„) является мартингалом при всяком п.
Класс локальных мартингалов обозначаем через Jtxoa(R+, Я), а последовательность (т„) называется локализующей. В дальнейшем будут рассматриваться только сильно непрерывные по t локальные мартингалы и мартингалы. Класс непрерывных локальных мартингалов, выходящих из нуля, обозначаем через
JtLiR+, Щ.
Теорема 2.3. Есл;ї x&JC\0ziR+, Н), то существует такая локализующая последовательность марковских моментов (тя), что
Esup I jc(ZAt^)I2< с». Если к тому же E|jc(Z)|2<oo V7>О, t> о
то E sup I je (s) I2 С 4Е J je (Jf) I2 Vt> 0.
•s«
82:Всюду в дальнейшем считается, что (TZ) = (Tn).
Теорема 2.4. Если xGJ(l0Cc (R+, Н), то \x(t) |2 — локальный субмартингал.
Определение 8. Через <х>, для XQJVfoc (R+, Н) обозначается возрастающий процесс (компенсатор) для |я'(/) |2 из разложения Дуба — Мейера.
В силу теоремы Дуба — Мейера «скобка» (x)t определена однозначно (п. н.) и непрерывна по t.
Если х, ijQj(i0Z(R+, Н), то обозначаем <а\ г/>( = ((x-\-yyt—(х—г/>;). Если (т„) —локализующая последовательность для x(t) и для y(t), то при O^s^^
E[(j:(<AT„)-j:(sAT„))(i/(<AT„)-«/(sATn))|^] = = E [ ( л, у ) tA%n— ( X, у > ,Лт„| &s\ п. н.
Теорема 2.5 (неравенство Дэвиса). Пусть xQJffotl Н), т — марковский момент, Р(т<оо) = 1, тогда
Esup|^(0|<3E[ < X ) у2].
Зафиксируем в H ортонормированный базис (/;,. и положим Xi(I)=HiXit). Известно, что почти наверное при любых i, j d<x\ xi>t<^d<x)t-
Пусть E—некоторое сепарабельное гильбертово пространство, Е* отождествлено с Е, {eit 1}—ортонормированный базис в Е, S(H,E)—пространство линейных непрерывных операторов из H в Е, S2(HtE) —подпространство S(H,E)„ состоящее из всех операторов Гильберта — Шмидта. S2(H, E), является сепарабельным гильбертовым пространством с нормой
и ||?|| не зависит от выбора базисов в Н, Е.
Пусть Q — симметричный, неотрицательный ядерный оператор из S(H,H). Обозначим через Sq(H,E) множество всех линейных, вообще говоря, неограниченных операторов В, определенных на Q112H, переводящих Qu2H в E и таких что By2QB. ^S2(H1E).
При BgSq(H, Е) положим
|?|Q = l|?Q1/2ll.
Известно, что если BqS 2(Н, Е), то
И I 5 H В К, BqSq(H,E),
|?|g<|?|(trQ)1'*.
Вернемся к XGJt0Ioc (R+, Н). Существует такой вполне измеримый процесс Qx(t) со значениями в S2(H,H), что при всех
6* 83(Z, со) оператор Qx(Z1Co) является симметричным, неотрицательным, ядерным оператором с tr Q = 1 и
hlQx(t)h>-=d(dx^/'t}t (dPxd(x).-u.B.)
при всех i, j для всякого базиса {hiJ. Оператор Qx называется корреляционным оператором х.
Если B(t)—вполне измеримый процесс со значениями в S2(HtE), и
/
E f ||?(s)||2rf < X ) s< OO 'о
при всяком Z^0, то существует такой сильно непрерывный по t квадратично интегрируемый мартингал yt со значениями в Е, что для любого ортонормированного базиса {№} и любых у?Е, 7>0