Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
=,cl'.+(hlhj)*v — 2 ABis (h)ABi (h). (ЗЛЗ>
3. Следующий результат является полезным с точки зрения альтернативных (и часто более удобных) критериев того, что X есть семимартингал с триплетом T = (?, С, v).
137: f (X_ + x)-f (XJ-2 °jf (x-)(*)
Теорема 3.20. Следующие условия являются равносильными:
1) X есть семимартингал с триплетом T = (В, С, v);
2) для каждого XQEd процесс е1'к'х — eiXX~oG(X) является (комплексно-значным) локальным мартингалом, где
G (X)t = (IXoB)t(X°Ct°X) +
Jt _tA,A(jc))v([0, t]*dx); <ЗЛ4)
3) для каждой ограниченной функции f = f(x1,...,xd) класса C2 процесс
/(X)-Z(X0)-^l Djf(XyB>-\ 2 Djkf (ХУСІЬ-
j<d " j,k<d
XV (ЗЛ5)
j<d '
есть локальный мартингал;
4) Каждый из трех процессов
M(h) = X (H)-B-X0,
M(h)L M(h)i — с1', і, j<d (3.16)
— g*v, ge$+
является локальным мартингалом (^+ — семейство ограниченных борелевских функций на Ed, исчезающих в окрестности 0)
5) При дополнительном предположении, что A G(X)=^—1 (G(X) —функция из 2)) процесс
e»-xl%(G(X)), (3.17)
где
S (G)s = eGs П (1+ Д(Уи)е~до", (3.18)
UtCs
является (при каждом XGEd) локальным мартингалом.
4. В связи с характеризацией, изложенной в 4), упомянем о так называемой семимартингальной и мартингальной проблемах, формулируемых следующим образом.
Пусть (?2, F = (Sr^x))-измеримое пространство с фильтрацией F и вероятностной мерой P^o на (Q, &~0). Пусть также X = = (X')i<d — rf-мерный процесс, заданный на (й, F) с траекториями из D (кандидат быть семимартингалом) и T = = (B,C,v)—набор (кандидат быть триплетом семимартинга-ла X), где B=(Bi)— F-предсказуемый процесс конечной вариации на каждом конечном интервале, ?o = 0; C=(Cii)1 і, js^d — F-предсказуемая, непрерывная матрица такая, что матрица Ct-Cb, S^t является неотрицательно определенной и симметрической; v—F-предсказуемая случайная мера на R+Y
138: XEd такая, что
v(co;/?+X{0})=v(co;{0}X?d)=0, M7\1*V((CU) <OO, J v(to; {t}Xdx) h(x)=ABt (a), v(co; (Z)XfiXl тождественно.
Определение 1. Решением семияартингальной проблеми, связанной с (f0, X) и (Р^-о; В, С, v), называется вероятностная мера P на (Q, 3~) такая, что
1) P [^0 = P^0,
2) X есть семимартингал на (Q, F, Р) с триплетом (заданных) характеристик T= (В, С, v) (относительно функции урезания h).
Через SXI Рд~о; В, С, v) обозначим множество всех решений Р.
Определение 2. Пусть $ — семейство опциональных ^-знач-ных процессов на (Q, F =(^()t>0), Ж — cr-подалгебра ^0 и P ж— вероятностная мера на 2/6- Решением мартингальной проблемы связанной с Ж и Pyg называется вероятностная ме^За P на (Q, 3~) такая, что P \Ж -Pж и каждый из процессов XбЖ является локальным мартингалом на стохастическом базисе U F, Р).
Утверждение 4), сформулированное в теореме 3.20 говорит о том, что семимартингальная проблема, связанная с триплетом T=(B,C,v) равносильна соответствующей мартингальной проблеме (с множеством Зс, состоящим из трех процессов (3.16)).
Показывается, что множество решений S (ZF1, X j P^ro; В, С, v)
является выпуклым множеством. (По поводу существования и единственности мартингальной и семимартингальной проблем см. [40], гл. III).
5. Остановимся на некоторых примерах семимартингалов и их триплетов.
Пример 1. Пусть M= (Q, ST, F=(Srn)riss0, Р)—«дискретный» стохастический базис и ?=(§n)n>o — последовательность случайных величин таких, что \п—?Гп-измеримы, п^О. На «непрерывном» стохастическом базисе $=(Q, F = = (&"t)t>o, Р) рассмотрим процесс
Xt = ^lIn, t>0.
Этот процесс является семимартингалом и (относительно функции урезания h = h(x)) его триплет T=(B,C,v) задается
139: формулой:
= 2 E (A(Sft)I^1),
k<t
Ci = O,
V (10, /] X g) = 2 E [g (b) I ilk ^0) I ],
k<t
где
t
* ([0. t] X g)= f j g (¦*) V (©; ds, dx).
o
Пример 2. Винеровский процесс № = (№",),>0 с Ett^ = Oj EW2t = o2 (t) является непрерывным локальным мартингалом с B = 0, С, = ст2(0, v = 0.
Пример 3. Пусть X= (Xt)tss0 — процесс с независимыми приращениями с характеристической функцией
g(Ah = E exp (IK-Xt),KGEd. (3.19)
Процесс X с независимыми приращениями является семимартингалом тогда и только тогда, когда при каждом KGEd функция t-*-g(X)t имеет конечную вариацию на каждом конечном интервале. С другой стороны, пусть X — d-мерный семимартингал с Z0 = O. Тогда X — процесс с независимыми приращениями в том и только том случае, когда существует детерминированная версия триплета характеристик. Если T = = (В, С, v) такой триплет, то
g (K)t = Z (G(X)) и (3.20)
где G (X) —функция, определенная по (B,C,v) формулой (3.14), a Z(G) —формулой (3.18). В частности, если X — процесс с независимыми приращениями без фиксированных моментов скачков (равносильно; v({t}y^Ed)=O, , то функции Bt, Ct v([0,/]Х'А) являются непрерывными (детерминированными) функциями, AG(K)t = O и формула (3.20) превращается в формулу Леви—Хинчина:
gah = exp(G(b)t),
где G(K)t задается формулой (3.14).
§ 6. Интегральное представление локальных мартингалов
1. Пусть X= (Xi)islCi — d-мерный семимартингал с характеристиками T= (В, C,v), заданный на стохастическом базисе (Й, F, Р). Пусть Xе — его непрерывная мартингальная составляющая, р — мера скачков X.
