Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Cltdt=^dtdWit ^dW^dt ^0, dW\dW\ =dt, dW\dW{ = О, при іФ}. Например,
{b\dt + 2 oydW^b\dt + 2 al/dW{j = 2 я'в'''dt.
Теорема 3.2 (Формула Ито). Пусть d — мерный процесс It имеет стохастический дифференциал, и(х)—дважды непрерывно дифференцируемая функция на Ed- Тогда процесс и (It) имеет стохастический дифференциал и
d d
^(^)=2^(^)^ + 4 2 и і fGJdl'dli. (3.8) i=i 1,/=1
Проще всего теорему 3.2 вывести из следующей теоремы.
Теорема 3.3. Пусть одномерные процессы r\t имеют стохастические дифференциалы (с ^-мерным винеровским процессом W). Тогда процесс It^t имеет стохастический дифференциал и
d (Imt) =ltd4\t+T]tdlt+dltdr)t. (3.9)
С помощью теоремы 3.3 немедленно получается, что если формула (3.8) справедлива для и(х), v(x), то она справедлива для u(x)v(x). Кроме того, формула (3.8) очевидным образом справедлива для линейных функций. Следовательно, она имеет место для всех полиномов от х= (х1, . . . , xd). Завершается доказательство теоремы 3.3 с помощью предельного перехода от полиномов к гладким функциям и использования теоремы 3.1.
В свою очередь, доказательство (3.9) из-за линейности обеих частей (3.9) отдельно по S и по т] сводится к случаям, когда dlt — btdt или dlt=ftdWt, dr\t = btdt или d\\t—ftdWt, причем bt, bt, ft, ft — простые функции. Представляя себе простую функцию, как сумму простых с «одной ступенькой» все дело очень быстро сводится к тому, чтобы доказать равенства dt2 = = 2tdt, d(tWt>) —(tdW^jrWtjdt) =0,
d (Wit)2 = 2WiidW'i +dt, d[WltW{) = WltdW{+ WfaW1l при іф j. Здесь первое равенство известно, второе можно доказать, на-
26пример, интегрируя по t, возводя в квадрат и вычисляя математическое ожидание, третье равенство — другая запись (3.6), четвертое равенство легко доказать примерно так же, как третье.
В том случае, когда в качестве берется сумма неслучайного x?Ed и d — мерного винеровского процесса Wt, формула Ито приобретает следующий особенно простой вид
du(x+Wt) = lfAu(x+Wt)dt+ux(x+Wt)dWt,
т. е.
t t л (* + №,)= a (jc) + ^ J Да(X + Ws)ds + J их(х + Ws)dWs. (3.10)
о о
3. Формула Ито вместе со следующим свойством стохастического интеграла Ито служит основой многочисленных вычислений. Перед формулировкой этого свойства неотрицательную случайную величину т, принимающую значения из [0, оо], назовем марковским моментом относительно если при любом /^0.
Теорема 3.4 (тождества Вальда). Пусть f?Sh, т — марковский момент,
X
E j' I ft\ 4t < оо . о
Тогда
X X 2 X
E^ftdWi = O, E^ftdWt =Efj\/t\2dt.
о
о
о
Подставляя в (3.10) вместо t величину х(х), из формулы (2.9) с помощью теоремы 3.4 легко еще раз получить формулу (2.9). Легко получить и гораздо больше. Например, пусть и — решение в S) уравнения
7, Дй+сй-f / = 0, (3.11)
причем функции и, с, f достаточно регулярны, и = g на дЗ). Тогда при х^З), х(х)
: t \ t j fc(x+Ws)ds \ fc(x+Ws)ds
d[e° u(x-tWt)J =u(x + Wt)de'° +
\c(x + ws)ds ( +
+ du{x + Wt)+\de* ¦ I du(x + Wt) =
t 1 \c(x+ws)ds $c(x+Ws)ds
= -/(jc + W,)e° dt + e° ux(x+Wt)dWt.
27Отсюда аналогично предыдущим рассуждениям о (2.9)
Х(х) t Г \c(x+Ws)ds
и(х)= E J е'о f (хWt) dt -f-
0
х(х) f c(x+W^)ds
+ Ее ° ' g(x + Wx{x)). (3.12)
Если /=0, g=l, то полученная формула называется формулой Када. Ее можно использовать, например, для нахождения распределения т. Так, при d= 1, .0=(-1,1), с_(х) =^-X, где постоянная А>0, / = 0, g=l, имеем и(х) = (ch ~^2%х) (ch У2Я)—1, и (3.12) дает преобразование Лапласа распределения т(х):
Ее-}л(х) = (ch V2Xx) (ch Г2ХҐ-
4. Формуле Ито (3.8) удобно придать более явный вид. Пусть d%t = OtdWt+btdt, тогда, проведя необходимые вычисления, находим
du (&) =L1U (It) dt+ot*их (lt)dWt,
где
LiU(Ij)= 2 аУихіхі(у)+УіЬ11ихі(у), (аУ)=~о&.
i,j<.d i<d
Если X0 неслучайно, a« = a (It), bt = b (%t) для некото-
рых борелевских функций о(у), Ь(у), и, стало быть, ?г— решение стохастического уравнения Ито
dtt = a(b)dWt+b(lt)dt, (3.13)
то а}у = аг>(Ъ), где (а1' (у))= 2 О (у) а* (у), и аналогично (3.12) для решения дифференциального уравнения
2 a1'uxixj+ ^b1Uxl +си+ f = Q в 3) (3.14)
i,J<d Kd
с граничным данным u=g на дЗ> получаем представление
X t X
(' $c(is)ds j c(ls)ds
a(*0)=Ej f(lt)e° dt + Ee0 g(Іх), (3.15)
о
где т — момент первого выхода из 3). Разумеется, формула (3.15) верна только при некоторых условиях, однако формулировать какую-либо общую теорему на этот счет бесполезно, так как она все равно не охватит всех возможных случаев, а вывод (3.15), намеченный выше, в каждом конкретном случае можно сделать вполне строго.
Формула (3.15), которую также иногда называют формулой Ито, играет исключительно важную роль в осуществлении свя-
28зей между теорией диффузионных процессов и теорией дифференциальных уравнений в частных производных. Заметим, кстати, что уравнение (3.14) является эллиптическим (вообще говоря, вырождающимся и, стало быть, может оказаться и параболическим), так как
Ja1W= J-|a*A,j2>0. <>/
Нельзя даже кратко упомянуть всех приложений вероятностного представления (3.15) решения уравнения (3.14). Покажем только, как из него мгновенно вытекает существование ограниченного на (—оо, оо) не равного нулю решения уравнения