Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы дать полное изложение рассматриваемого круга вопросов, введем ряд определений и обозначений.
Во всем дальнейшем предполагается, что задан стохастический базис F=(y()(>o, Р), р = р(со; dt, dx)—целочисленная случайная мера на R+У^Е, где (E, &) — пространство Блэкуэлла и v=v(co; dt, dx) —компенсатор меры р. (Всегда существует такая версия v с v (со; тождественно; именно такая версия и будет далее рассматриваться).
Положим
at (и) = V (со; (0Х?), •/ = {«, t\at (со)> 0}, Vе(со; dt, dx) = v(со; dt, dx)I-j(со, t).
С каждой 9s измеримой функцией W = W(w, t, je) свяжем 'следующие два возрастающих предсказуемых процесса
С (W)1 = (W-- Wf* Vt + 2 (1 - as) (W'J2,
s<t s«
134: Wtw) =
E
еслл
где
JV (to, t, х) v (to; [t) X dx,
іл j|W(co, t, x)\v(<iy,{t}Xdx)<oo,
E
oo, в других случаях. Кроме того, положим
W' = (W-W)Ihw_^} + WIm<l}, W = (W-W)I{lw^>l} + WIm>ly
Определение 1. Будем говорить, что ^-измеримая функция W7 = W7(O), t, х) принадлежит классу Gloc(p), если с (w') +С (W7") ємш с
Определение 2. Стохастическим интегралом от ^-измеримой функции ^eGloc (р) по р — v, обозначаемым —v) называется
чисто разрывный локальный мартингал X такой, что
AX, = jV(co, t, х) р (со;
E
Показывается, что это определение корректно в том смысле, что для функций №6Gioc (р) такой процесс XGJtL действительно существует и с точностью до стохастической неразличимости является единственным.
Смысл введенных выше определений и понятий раскрывается следующей теоремой.
Теорема 3.18. Пусть W — ^-предсказуемая функция.
1) Функция WeG,0C(p) и W*(ji — v)e<9g2 (соотв. ^j2oc) в том и только том случае, когда С (W)^M+ (соотв. ^itc)- В этом случае
<№*(р—v)> = C(W).
2) Функция W6Gioc(p) (соотв. Mloc) в том и только том случае, когда C(W)GM+ (соотв. Mitc).
3) Функция WGGloc(р) в том и только том случае, когда процесс
(со) = JV(со, t, X)IX(^itjXdx)-Wt(U)
E
таков, что
M2G^tc
/I:
В приводимой ниже теореме 3.19 описывается один случай, когда интеграл W7* (р,—v) равен W7^p—
135: Теорема 3.19. Пусть w — ^-измерима и | w j* (экви-
валентно: Тогда W6Gl0C(n) и
v)=W*|x— w*v.
2. Рассмотрим вопрос о представлении чисто разрывных локальных мартингалов как стохастических интегралов по мере
(Л,—V.
Пусть MGjKxo,, ?=Я\{0},
E(s,am )(dt, dx)
s> 0
— мера скачков процесса M и v — ее компенсатор. Тогда для W{oj, t, X)
IF, (со) = Jjcv(co; {<}xdx) = 0,
E
C(I^)=Av1 C(f)=|x|»v, (jc2a I X |)*veA. Значит WeGloc(H) и определен интеграл — v). При этом х*(\л — v) совпадает с чисто разрывной компонентой Md процесса М:
і
Mdt= f f jcrf (|л — v).
О E
Если при этом MdQJKloc , ТО < Md > = JC2*V.
§ 5. Характеристики семимартингалов. Триплет предсказуемых характеристик T=(B,C,v). Проблемы мартингалов и семимартингалов. Примеры
1. Пусть X= (Xі,..., Xd) — d-мерный семимартингал, определенный на стохастическом базисе 3&= (fi, SF, F=(&~t)t>o, Р). В этом параграфе дается определение важному понятию триплета предсказуемых характеристик семимартингала X, в терминах которых описываются разнообразные их свойства.
Пусть Щг — класс всех функций урезания h: Ed Ed, которые ограничены, имеют компактны"! носитель и удовлетворяют свойст-ру h(x) = x в окрестности нуля.
Если h#3diT, то t±.Xs — h(ls.Xs)=h§ только если для
некоторого by 0. Положим fx = fx((o; dt, dx) — мера скачков X,
X(h)t = 2 [A^s - b (A^s)] ( - j j (х-h
s<t \ 0 /
X(h)=X — X(h).
Процесс X (H)GTd (т. е. его компоненты принадлежат классу У), а процесс X(h) является семимартингалом с ограничен-
ие ными скачками и, следовательно, есть специальный семимартингал. Согласно § 1 всякий специальный семимартингал допускает каноническое разложение
X(h)=X0+M(h)+B(h), (3.11)
где M(h) GJtioc, M0(Zi)=O и B(h) есть предсказуемый процесс класса Td. С учетом того, что
t
Md(h)t = \\h(x)d(\x-v), о
получаем следующее каноническое представление для семимартингала X:
і
Xt = X0-^-Bi (h) -f XJ + f f h (X) d(Р - V)+
о
I г (3.12)
+ J J (x-h(x))d]x.
6
Определение 1. Пусть h есть фиксированная функция урезания herSdtr- Tриплетпом предсказуемых характеристик (относительно функции h), T =(В, С, v), называется набор, состоящий из
1) В =(B')i<d —предсказуемый процесс B = B(h);
2) С = (CiJ)i>J<d — непрерывный процесс в TdXTd с Ci' = = < Xic, Х* > ;
3) V — предсказуемая случайная мера на R+~XEd, являющаяся компенсатором меры р скачков процесса X.
Важно отметить, что вторая и третья характеристики chv являются «внутренними» характеристиками семимартингала (в том смысле, что они не зависят от выбора функции урезания h). Что же касается первой характеристики, то для функций урезания huh'
B(h)—B(h') = (h—h')*v.
2. Для многих целей удобно ввести понятие второй модифицированной характеристики С =(с';)<,;«ь определяемой формулой
~с1'= < M(hy, M (h)> ) .
Связь этой характеристики с (В, С, v) описывается формулой:
= с-f-(h'h')*V — (^ hi (х) v ({$) X dx)} (hi (х) v ({s} X dx)J =
