Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 3.9. '1) Если А предсказуемый процесс класса У> то существует локализующая последовательность (а„)п>] маркой-
(«интегральный>) процесс
полагая
о
t t
OO ,
122: ских моментов таких, что [VarAJ0 <« (Р-п.н.) и, в частности, AeMioc.
2) Если локальный мартингал X принадлежит классу У, то XGMioc-
3) Если AGM, M— ограниченный мартингал и т—момент остановки, то
E(AhA)x = E(MxAx). Если к тому же А — предсказуемый процесс, то E(ALoA)x= E (MxAx).
4) Если AGMioc и M — локальный мартингал, являющийся локально ограниченным, то MA — M ° AGJt\oC- Если к тому же А — предсказуемый процесс, то процесс MA — M-oAGJtioe-
2. Приводимый далее результат, известный как «разложение Дуба—Мейера», играет ключевую роль во всем стохастическом исчислении.
Теорема 3.10. Если X — субмартингал класса D (т. е. семейство (Хт), где т — конечно-значные марковские моменты, равномерно интегрируемое), то существует единственный (с точностью до неразличимости) возрастающий интегрируемый предсказуемый процесс А с A0 = O такой, что т=Х—А — равномерно интегрируемый мартингал.
Важным следствием «разложения Дуба—Мейера» является
Teop е м а 3.11. Пусть Ag^itc- Тогда существует предска" зуемый процесс Ap^M^c такой, что выполнено любое из следующих равносильных утверждений:
a) A-APGJtioc-,
b) eatj5 = eax для всех моментов остановки г;
c) е[(н- A?)«] = е[(ЯоА)оо] для всех неотрицательных предсказуемых процессов Н.
Процесс Ap называется компенсатором процесса А. (Иногда называют «предсказуемым компенсатором», или «дуально предсказуемой проекцией» процесса А.)
Теорема 3.11 допускает очевидное обобщение и на случай процессов AGMioc, для которых соответствующий предсказуемый процесс ApGMioc (такой, что a-apgj^1op) также называется компенсатором процесса А.
Отметим ряд простых свойств компенсаторов.
Теорема 3.12. 1) Если процесс AGMioc и предсказуем, то Av = A.
2) Если AGMioc и т — момент остановки, то (at)?= (а?)т.
3) Если AGMioc, то предсказуемая проекция ^(AA) =A(Af).
4) Если AGMioс, то А есть локальный мартингал в том и только том случае, когда Ap = 0.
5) Если AGJlioc,[\Y и Я — предсказуемый процесс с HaAG ИМюе, то Н°AGJtioe и Ap = O.
123: Пример. Если Л = (Д)^0 —процесс Пауссона с параметром К, то процесс и локально ограничен. Его компенсатор
Ap = U, t> 0.
§ 5. Случайные меры. Целочисленные случайные меры
1. Концепция «случайной меры» является одной из основных в стохастическом исчислении, давая возможность детального изучения скачков случайных процессов, траектории которых принадлежат пространству D функций, являющихся непрерывными справа и имеющих пределы слева.
При определении случайной меры (далее, ц = р(со; dt, dx)) предполагается заданным стохастический базис $J=(Q, У, F = = (@~t)t>о, Р) и вспомогательное пространство (Е, &), предполагаемое пространством Блэквелла (в дальнейшем в качестве такового достаточно брать e = r; примером такого пространства является, например, польское пространство с его борелевской а-алгеброй).
Определение 1. Случайная мера на r+x.e есть семейство р= (ц(и; dt, dx); coGQ) неотрицательных мер (на R+У^Е, <%{r+)®&), удовлетворяющих тождественно условию
ц (о; {0}Х?)=0.
Введем обозначения:
Sl==Q XR+XE, 0 = O®<§, 3> = 3>®g.
Функция W=W (со, t, х), определенная на Q, являющаяся О (соответственно ^-измеримой, называется опциональной (соответственно предсказуемой).
С каждой случайной мерой ц и опциональной функцией W можно связать (интегральный) процесс W*\i, полагая по определению
W*\bt =
[ j W (со, 5, л:)(х(ш; ds, dx), если [ j W [ц (со; ds, dx) < оо = I [о.^хя [О,/]хя
[ оо в других случаях.
Определение 2. Случайная мера ц называется опциональной (соответственно предсказуемой), если для каждой опциональной (соответственно предсказуемой) функции W процесс W*n является опциональным (соответственно предсказуемым). Случайная мера ц называется интегрируемой, если I*\b?s&+. Опциональная мера ц называется 0і-а-конечной, если существует ^-измеримое разбиение (An) пространства Q такое, что Ia * цб^+.
124: Пример. С каждым считающим процессом AGT+ можно связать случайную меру ji, полагая
ц(<о; rf/X{l}) =dA,(v>)
В этом случае мера ^.-опциональна; она является предсказуемой тогда и только тогда, когда Л-предсказуемый процесс.
Следующая теорема (о существовании «компенсатора» у случайной меры является обобщением теоремы 3 из предыдущего параграфа.
Теорема 3.13. Пусть ji-опциональная <?-а-конечная случайная мера. Тогда существует предсказуемая случайная мера v, называемая компенсатором меры ji, такая что выполнено любое из следующих равносильных утверждений:
а) для каждой измеримой функции W на 12 с j UP |* [Xg-S^ процесс j W [*v{^+c и W*v есть компенсатор 1\7*_ц, т. е. W*\i — — W Jtlocm
в) E(W*v)„, = E(W*y.)^ для каждой неотрицательной измеримой функции W на Q.
Такая мера v определяется единственным образом с точностью до множеств Р-меры нуль.
2. В классе случайных мер особо важную роль играют целочисленные случайные меры.
