Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
2) b = b(t,x) непрерывная по совокупности переменных функция вместе со своими частными производными bt = bt(t, х) и bx=bx(t, х);
3) функции bt(t, х), bx(t, х), b(t, 0)—равномерно ограничены;
4) bx = bx(t, х) удовлетворяет условию Липшица по х равномерно по t.
Тогда
S T
W _> aW=>Xn X,
где Ar=(Xi)OO-PemeHne стохастического уравнения Ито t
^ = X0 +J [a(s, Xs)+--bx{s, Xs) b(s, Xs)] ds +
о
J (4.142)
+ \ab(s, Xs)dWs.
о
Доказательство оснозано на вибрэкорректном преобразовании: Xnt О, І*, t),
Znt =a(t, Q(W1, О, Zl, і)), Zn0=X0,
где
Q(s, s0, y0, t) = ys, a ys — решение дифференциального уравнения
dJi = b(t, ys), уSe=у0.
240: Это преобразование позволяет установить, что
W11ZaWMXn, Zn, Wnf-y(x, Z, aW),
где
¦Xt = Q(aWt, 0, Zt t), Zt = a(t, Q(aW, О, Z„ 0), ^0 = X0.
При этом стохастическое уравнение для X выводится отсюда с помощью формулы Ито.
Достоинство виброкорректного метода состоит в том, что не требуется никаких дополнительных предположений о структуре процессов Wn, п>1. Однако этот метод, вообще говоря, не работает в векторном случае без дополнительного условия Фро-бениуса, сильно ограничивающего структуру матрицы b(t, х) (в векторном случае b(t, х) —матрица, Wtn — вектор).
S
3. Второй метод аппроксимации Л'"-> X работает как ,в скалярном, так и в векторном случае. Однако он требует дополнительных предположений о Wn. Теорема 4.40. Пусть
1) a = a(t, х)—непрерывная по совокупности переменных функция, удовлетворяющая условиям Липшица и линейного роста по X равномерно по t;
2) b = b(t, х) —непрерывная по совокупности переменных и ограниченная функция вместе со своими частными производными bt = bt(t, х), bx=bx(t, х), bxt = bxt{t, X), b^—b^it, х);
3) Wnt = ]/я IntJ гДе ? =(It)^Et — стационарный в узком смысле эргодический процесс такой, что
Е|?<оо, Eg0=O,
OO
§||Е(Ы^о)М*< оо = -co<s<0}).
о
Тогда
где Х^АТ^оо—решение стохастического уравнения (4.142) относительно некоторого винеровского процесса W = (Wt)t> 0
(со -jl/2
и 0= 2 j E (S^0)dt\ .
Доказательство. Прежде всего заметим, что
nt
WT = -M IsdS.
Vn
241: В силу условия 3) теоремы и леммы 4.2 процесс Wn = {Wl)t>® допускает разложение
Wl = -Lr Mnt + (V0- Vnt), (4.143)
у п у п
где M = (Mt) (>0 — квадратично-интегрируемый мартингал, являющийся процессом со стационарными в узком смысле приращениями, V=(Vt)i^0 — стационарный в узком смысле процесс такой, что (Vt, ?()/3,0 — стационарный в узком смысле процесс. Обозначим
Mi=-LrMnlt Vnt=L-Vnt.
X п у п
Отсюда и иЗ (4.141) и (4.143) следует, что
t t t Xl = X0+^a{s, Xl)ds+^b(s, Xl) dMl-J b (s, Xl)dVl,
0 0 о
где интегралы по dMп и dVn являются соответственно стохастическими интегралами по квадратично интегрируемому мартингалу
и семимартингалу, соответственно. Интегрирование по частям t
в ^b (s, Xl jdVl приводит к соотношению о
t t
J Ъ {s, XI) dVl= - J bx (5, Xl) b (Xl) VlWlds + al,
о о
где в ant собраны все оставшиеся члены. Таким образом
t
,Y? = Xo+Jj[a(s, Xns)-rbx{s,X?)b(s, Xl)Vl\Vl]ds +
+ J b (5, Xl)dMl + al.
14? стационарности в узком смысле и эргодичности I вытекает стационарность в узком смысле и эргодичность [Vi, Wl)t>0. При этом
EVlWl = E (L=VntVnlntxJ = EV0I0.
OO
Из леммы 4.2 следует, что V0 = J E (lu | sr\)du. Следовательно,.
о
242: г
= Далее
о
t t nt
J V4Wns ds = 5 vnslnsds = \ Jj VSlsds
OO о
и, значігг, ? силу эргоДической теоремы Биркгофа — Хинчина При П-У OO Р-п. н.
t
O2
VnsWUs.
І 9
О
Отсюда с учетом аналога теоремы Пойа (см. [19] задача 5.4.2) нетрудно вывести, что для любого Т> 0 при п-*-OO Р-п. н.
sup
t<T
t
^VnsWnds-t ^
-0.
о
Далее устанавливается относительная компактность семейства распределений Xn, п^ 1, позволяющая проверить, что
sup І я" Vr >0.
t<T
Последнее соотношение дает возможность устанавливать слабую
сходимость Хп^>Х вместо Хп^>Х, где Xn = Xn —«?. Слабая сходимость
Xn^X
устанавливается с помощью теоремы 4.36.
§ 5. Диффузионная аппроксимация для семимартингалов с нормальным отражением в выпуклой области
1. Задача Скорохода. Пусть D = D10, «,)(Ed)—пространство непрерывных справа и имеющих пределы слева вектор-функций X=(Xt)t>0, Xi=(X1(t), ..., Xd(t). Обозначим
D(0) = {XeD:XteO, t>0}, где O—замыкание выпуклой области OeEd (дО — граница области О).
Определение. Решением задачи Скорохода о нормальном отражении внутрь области О для XGD с X0GO называется функция Y= (Yt) (>06D (О) такая, что функция
ф = у—X
обладает следующими свойствами:
1) <р= ((pt)t>QeD, ф0=0,
2) полная вариация Var(ф), функции ф„ O^s^f конечна при каждом ^>0,
243: 3) для любой непрерывной и ограниченной функции / • O-^Ed с f (у) =0 при ybdO
t
<*Ф,) = 0, *>0
о
((¦, •) —скалярное произведение),
4) Для любой функции Y = (Yt)t>0?D (0) функция U1 =
= J (YS~YS, dqs), t>0 является неубывающей, о
5) функция ф согласована с фильтрацией D=(3>t)t>0 с SDt = = П a{Xs, s<t + &).
