Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
J^Fk
— Г
217: Если ст-алгебра У* содержит только множества меры 0 или 1, то 1 называется эргодическим процессом.
В неэргодическом случае можно дать следующие обобщения принципа инвариантности: последовательность Xn, слабо сходится в топологии Скорохода к смеси винеровских процессов:
X" ^ n W,
где W — винеровский процесс, не зависящий от г]—Л-измери-мой случайной величины. При этом для любой ограниченной и непрерывной в топологии Скорохода функции f=f(X) имеет место сходимость по вероятности
Этот вид сходимости будем в дальнейшем обозначать
S
Xn-^vW (./«-устойчиво).
Современный подход к доказательству принципа инвариантности для стационарных последовательностей и процессов опирается на функциональную центральную предельную теорему для квадратично интегрируемых мартингалов, являющуюся функциональным аналогом теоремы Линдеберга (см. теорему 4.1) с условием Хинчина (4.33).
Пусть (Q, F" = (<F«),>0, Р), п>1 и (й, F = (^)/>o,Р) —
стохастические базисы и G — некоторая под — а-алгебра У о-На (й, Sr, F, Р) задан винеровский процесс W7=(W71)f3eO- При каждом п^ 1 на (Q, ST, F71, Р) задан квадратично-интегрируемый мартингал Mn = (Мtn) t„0([Mn, Mn]= ([Mn, М"]()(>0 — квадратичная вариация Mn, AM"= (AMtn) t>0 — процесс скачков Mn).
Теорема 4.29. Пусть выполнены условия:
(О) Ocn^;
л> 1
(L) Е2(А^)2/(|А^|>є)^0, п^ оо, V/>0, є>0,
s<t
(условие Линдеберга);
(С) [Мп,
где г)2—G-измеримая случайная величина (условие Хинчина). Тогда
S
Mn ->i"[W (G-устойчиво),
где л = Vrf и не зависит от W.
2. Принцип инвариантности Донскера [30] является одним из первых результатов в этой области. В этом случае в (4.113)
218: І — последовательность независимых случайных величин с
Е| 1 = о\ Е?с = 0.
Условия теоремы 4.29 проверяются очевидным образом. Процесс Xn является квадратично интегрируемым мартингалом относительно фильтрации Fn= (&~},t )(>0. В качестве G берется а-алгебра содержащая в данном случае лишь множества меры 0 или 1 и, значит, выполнено условие (0). Условия Линдеберга и Хинчина
(L) ПтЕІ- V ||/(1?А|> j „е) = 0,
П 1 <j!<nt
(С) [X", X«], = JL V = / > 0,
выполнены (условие (С) в силу эргодической теоремы Биркго-фа — Хинчина). Следовательно
XnS-oW, (4.114)
где ff = } в2'
3. Обобщение принципа инвариантности Донскера. Откажемся от предположения независимости случайных величин в последовательности Рассмотрим три случая.
(і) I — стационарная в узком смысле эргодическая (!) последовательность
EEg = а2,
являющаяся марти нгал-разностью: E (^ft | = —оо < k < < 00.
В этом случае то же самое доказательство, что и в принципе инвариантности Донскера дает (4.114).
(H) Пусть выполнено условие из (і) без предположения эргодичности. В этом случае
S
xn ->rjW (У^-устойчиво),
где ті =^E (il I Ji) и не зависит от W. Здесь следует лишь заметить, что выполнено условие (О) теоремы 4.29 с G = J^, посколь-ку Ji^0.
(iii) Остановимся на аналоге (ІІ) для непрерывного времени. В этом случае будем предполагать, что
XI = -^Mnt, (4.115)
у п
где M=(Mt)tssQ — квадратично интегрируемый мартингал, являющийся процессом со стационарными в узком смысле приращениями. Чтобы упростить ситуацию, будем считать заданными
20 2 вероятностное пространство (?, F, Р) и группу сохраняющих меру преобразований 8=(8*)(Єе' с групповой операцией 6«6S = = 0/+s(босо = со), причем отображение i, co->0(to является JM(E1)® tSiFlST-измеримым. Пусть ^"р-пополнение SF по мере P и Jf— совокупность множеств из Fv нулевой меры Р. Определим фильтрацию Fp= (^p )(еД, полагая
Fvt =FiiXJJf,
где F0t = Q-^(G), G — некоторая поД-сг-алгебра F такая, что
0г-1 (G) c:G при t<.0. Так определенная фильтрация является непрерывной справа, а о-алгебра инвариантных множеств J определяется следующим образом:
J = {AeFp: P (/л (to) = Ia OM v teE1}.
Будем также считать, что M является мартингалом относительно данной фильтрации Fp и, более того, для любых
t S IlGP
4 Afi+h(<o)-Ms+h (©) = mt (8„<о)-Als(QhCO) Р-п.н., (4.116)
где при t<i0 Mt доопределяется по формуле
Af_t(<a)=—Aft(e_t<a), *>0.
Замечание. При переходе к соответствующей версии равенство в (4.116) имеет место при всех а» (см. [47]).
Теорема 4.30. Пусть M=(Mt)t>0— квадратично интегрируемый мартингал, удовлетворяющий свойству (4.116) на стохастическом базисе (Q, FP, Fp = (IFp)Qe^ Р) и процесс Xn при каждом определен формулой (4.115). Тогда
S
Хп-+ч\W (У —устойчиво), где W=(Wt)t>о — винеровский процесс, не зависящий от
4 = {E(Ml\J)y>2.
Следствие. Если cr-алгебра / содержит множества меры
0 или 1, то х"-+сtw, <s = Ve ml
Доказательство этой теоремы также вытекает из теоремы 4.29 с G = J и Vl = Vpnt. Услэзиэ (0) таоремы 4.29 выполнено, поскольку /CSrJ. Услозие Линдебе-рга (L) выполнено поскольку, в силу (4.116).
E^(\X"f I {\АХ"\>г) = Е^^(Ш3)21 (\ms\>Vnz)^
•s</ s<nt
= E 2 (A/M,)2 / (І АЖ5|>Уие)^0, n_> ОО.
220: Проверка условия Хинчина (С) основана на том, что свойству (4.116) удовлетворяет и квадратическая вариация [М, М] мартингала Af:
