Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
ai=v({*}XK\{0}), a/=v'({OXtf\{0}.
Из теоремы 3.31 вытекает такой результат. Теорема 3.36. Для абсолютной непрерывности P'«СP необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
1) Ро'<Ро (Po' и P0-сужения P' и P на сг-алгебру Sr0),
2) существует неотрицательная измеримая детерминированная функция Y=Y(t,x) такая, что
V(dt, dx) = Y(t, x)v(dt, dx),
3) at = \=>at' = 1,
4) 7(M<l)|*(y-l)|*Vi<oo, Yt>0,
5) существует измеримая детерминированная функция ? = = (?()is.o такая, что ?2°C(<oo, V7>0 и
?' = ?+?-C+/(|*|<l)*(y—l)-v,
153: 6) C = C',
7» ?^CoH-(1-1^)^+2(1 M-v'R)!<«.
ty 0
Замечание. Если выполнены условия 1)—6) и условие
Lt=PoCl+ її — ] ту* v,+2 (і T^;- Ki^;)2 < «, v*> о,
то
P7_LP<=^L„ = oo. 5. Марковские процессы со счетным множеством состояний.
Пусть X= (Xt)t^a принимает значения в множестве J= = (а, ?, у, . . .) и является марковским процессом относительно P и P7 с матрицами интепсивностей переходов ||Aa?(^)|| и 1|Аар'(0!1> соответственно, где Xa?(t) и Аар7(?)— измеримые функции, обладающие следующими свойствами:
2 (0 = 0, 2 >^R(0 = 0, afcУ,
?g/ pg/
t t
J sup I Aoa(s)| ds < оо, j sup) A,aa(s)| ds < оо, t> 0.
Oa Oa
Определим случайные процессы ^p= (? (0) оо, с X>(t) =I(Xt = V).
Процесс Xji является семимартингалом относительно P и P7 с разложениями относительно P и P7:
t
^p(0 = ^?(0) + j'AAvb(S)^S+ M?(0,
о t
X? (t) = X? (0) +J ^ +
о 15
где M?=(yW?(O)/>0 И Mfl = (/Wp(O),>0 — квадратично интегрируемые мартингалы (относительно P1 и P')-
Используя эти разложения, теорему 3.31 и следствие к ней получаем следующий результат.
Теорема 3.37. Для абсолютной непрерывности P7-CP необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
а) Р(Х0 = а) = 0=Я>'(Х0 = сс) = 0, V<x?j, t t
b) j I (Xs =a) Xafj (s) ds=<j I (Xs==a) Aop(s) / (Ao?(s) > 0) ds, о 0
Р-П. H., OO1 a, ?e/,
154: \о V Г аР /
X^a?(s)rfs < со J = I.
6. Семимартингалы с условием локальной единственности.
Будем считать, что X=(Xt)tss0 — семимартингал относительно P и P' с триплетами предсказуемых характеристик T = = \В, С, v) п Т'=(В', C',v').
Теорема 3.38 (ср. с теоремой 3.35). Для абсолютной непрерывности Р'<СР достаточно выполнение условий:
1) Ро'<Ро,
2) существует неотрицательная ^-измеримая функция F = = Y (со, t, х) такая, что
у' (со; dt, dx) = Y(со, t, л:)v(со; dt, dx) Р'-п. н.,
3)
у({t}XR\{0}) = l=>v'({/}X?\{0}) = 1 Р'-п. н„ 4) 7(|*|<1)\x(Y — 1) U v,<oo Р'-п. п., <>0,
5) существует ^-измеримая функция ? = ?(co,/) такая, что ?2=C(<oo Р'-п. и., t>О
и
B' = B+$oC+I(\x\^\)x(Y—l)*v Р'-п. н„ 6) C = C',
7) P'(?-CM+(1 -VYf^ + ^yT^Et-Yl-atf < оо )=1,
оо
8) мартингальная проблема SP(2F0, Х\P0'; В', С', v') обладает свойством локальной единственности для меры P'.
Абсолютная непрерывность Р'<сР влечет за собой выполнение условий 1)—7) (см. [15] и [40]).
КОММЕНТАРИИ К ГЛАВЕ 3
I. § 1. Аксиоматика Колмогорова изложена в его книгах [17], [18]. После введения колмогоровской аксиоматики следующим важным шагом в развитии стохастического исчисления было введение фильтрации (потока а-алгебр), что позволило точнее учитывать структуру стохастических объектов и получать более глубокие результаты. Начало этому исследованию положил Дуб [13].
§ 2. Излагаемый здесь материал составляет основу общей теории случайных процессов и базируется главным образом на результатах страсбург-ской школы вероятностников (Мейер, Деллашери, Долеан-Дэд . . . ) . Приведенный здесь материал заимствован из книг: Мейер [21], Деллашери и Мейер [26]—'[28], Деллашери [12], Жакод [38], Метивье [48], Эллиот [30], И. И. Гихман, А. В. Скороход [4].
§ 3. Понятие локального мартингала введено в работе Ито и Ватана-йэ [35].
155: § 4. Возрастающие процессы в качестве важного и самостоятельного класса систематически рассматривались в монографиях Деллашери [12], Мейера [21]. По поводу разложения Дуба—Мейера см. Мейер [21], Деллашери и Мейер [26].
§ 5. Изложение теории случайных мер и их компенсаторов следует здесь в основном схеме, предложенной Жакодом [36], см. также Жакод [38], Жакод, А. Н. Ширяев [40), Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев [20], Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев [45], Ю. М. Кабанов, Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев [14].
§ 6. Роль квадратично интегрируемого мартингала в теории мартингалов во многом прояснена в работе Куниты и Ватанабе [42], см. также Деллашери и Мейер [26]. Квадратичегкая характеристика локального мартингала введена Мейером [49], взаимная квадратическая характеристика — Кунитой и Ватанабэ [42].
§ 7. Первое разложение локального мартингала в случае дискретного времени носит название «разложение Ганди». Второе разложение и его свойства установлены Мейером [50], см. также Жакод [38].
11. § 1. Семимартингалы в качестве самостоятельного класса были введены Долеан-Дэд и Мейером [29], а специальные семимартингалы — Йор-пом [56] и Мейером [50]. Полное изложение теории семимартингалов можно найти в книгах Деллашери, Мейера [26] — [28], Жакода [38], Метивье [48], Эллиота [30], И. И. Гихмана, А. В. Скорохода [4], Жакода, А. Н. Ширяева [40], Р. III. Лнпцера, А. Н. Ширяева [20]. Квадратическая вариация локального мартингала введена Мейером [50]. Сведения о кзадратпческоп вариации семимартингала содержатся у Деллашери, Мейера [26] — [28], Эллиота [30], Жахода, А. Н. Ширяева [40], Р. Ш. Липцера, А. Н. Ширяева [20]. Понятие квазимартингала введено Фиском [31], Ори [52], см. также Метивье [48], Жакод [38], Pao [53], Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев [20].
