Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
sup I ->0, (4.4)
S
sup I а„оЯ„(5)— а(5)|->0, (4.5)
s<N
для всех N^ 1.
Заметим, что если 6(„ (ап, а)-Ч), тогда (4.4) и (4.5) выполнены с Kn (s) = s. Так что топология Скорохода слабее локально равномерной топологии.
В том случае, когда а — непрерывная функция, то в топологии Скорохода ап->а в том и только том случае, когда б їй (ап, a )-)-0. Положим
( 1, i<N,
KN(t)= ЛЧ-1-<, N<t<N+\, I 0 t>N-\-1
XIII = SUP
s<t
N N+1
k(t)-k (s)
log
t—s
и для а, ?eD
M«. ?) = inf (j|| X ЦІ 4- И (Kn ¦ «H -Kjv-? |U),
ЛЄЛ
o(a, ?)=2]2-A'(lA6Jv(<x) ?)).
(4.6)
Показывается, что б — является в пространстве D расстоянием (6^0, б(а, ?) = o(?, а), удовлетворяет неравенству треугольника и если б (а, ?)=0, то a = ?).
Важным свойством расстояния б является то, что борелев-ская о-алгебра, M6(D) совпадает с цилиндрической &ц(0):
<SMD.)=A,(D).
Приведем два примера, иллюстрирующих сходимость ап-^а функций ап к а в топологии Скорохода.
Пример 1. Пусть a„(s) =x„I(tn^s):
Xn-
¦ і і)
165: Тогда ccn-мх; если и только если
1) или tn—>-оо и тогда а = 0,
2) или же оо, хп-*-х и тогда a(s) =xl
Пример 2. Пусть
OCn(S) = XnI (tn^s) -{-ynI (rn^s), tn<rn
Хп+Уп In
Тогда ап-^а, если и только если:
1) (значит, и r„-voo) и тогда а = 0,
2)?n-v/<oo, /-ri_voo, хп-*х и тогда a(s) =xl (t^.s),
3) t —*~Х, Уп^У И ЄСЛИ ХфЪфу,
тогда a(s) =xl(t^.s) -\-yI(r^.s),
Заметим, что в топологии Скорохода из an->-a, ?n->-? вовсе не следует, что an+?„-*-a+?. Так что пространство D с топологией Скорохода не является топологическим векторным пространством. Однако, если ап-*а, и ? непрерывно, то <Xn + ?
П
Для понимания сходимости в топологии Скорохода укажем, на один полезный результат (георема 1) в случае, когда рассматриваемые функции а. принадлежат множеству Y+ неотрицательных непрерывных справа неубывающих функций, равных нулю в нуле. Через Y^ 1 обозначаем подмножество Y+, состоящее из считающих функций
а* = 2 1 (tn>S), п>\
где Zi >0, tn<.tn+u если tn<.oо, 4foo. Теорема 1. Пусть ап, a?Y+.
а) Мы имеем ап-*а в топологии Скорохода в том и только том случае, когда существует плотное подмножество ShR+ такое, что
a „(s)^a(s), (4.7)
2 ілм«)І2-> 2 iAa(")i2 (4-8>
O <«<І O <«<J
для s6S
в) Если а — непрерывна или если ап, то выполне-
ние лишь условия (4.7) гарантирует сходимость an—
Д66 Итак, если наделить пространство D метрикой б, то можно говорить о непрерывности функций g = g(x), xGD, и приобрета-
W
ет смысл понятие слабой сходимости Р"-кР мер Р™ к Р, определенных на (D, J?(D)):
j g (*) P»(flf.*)-,. Jg(JC) P (dx).
D D
w
В связи со слабой СХОДИМОСТЬЮ P1-VP отметим, что из нее не вытекает (как в случае про:транства С) слабая сходимость
всех конечномерных распределений „ w
.....tk, tm,-
Именно, если X=(Ar^(Co))ZgZJt—процесс с распределением P в (D, 9! (D)) и
J(X) = {t?R+: P (AXt^0)>0}, AXt = Xt - Х{_,
то гарантируется лишь, что
И) W
Р"-Р=>Р?................
для всех тех tj, которые принадлежат множеству
R+\J(X).
(Это следует из того, что функции a-^a(t), так же как и а->-—>-а (t—) непрерывны на D в каждой точке а такой, что /б &R+\J(а), т. е. такой, что Aa(^)=O).
Как было сказано выше одна из наших задач —наложение результатов, полученных мартингальными методами в теории 3?
сходимости Xn^-X и Xа—>Х случайных процессов, т.е. схоДи-
W W(S)
мости РЯ->Р, и Pn—уP(w — слабая сходимость, —слабая сходимость конечномерных распределений в моменты времени, принадлежащими множеству SC/?+).
Наше изложение мы начинаем с ряда основных результатов в области классических предельных теорем, особо делая акцент на методы их доказательств, что дает нам возможность более полно понять суть «мартингальных» методов.
§ 3. Краткий обзор ряда классических предельных теорем теории вероятностей
1. Первой предельной теоремой теории вероятностей был закон больших чисел Я. Бернулли (1654—1705), который в своих «Ars Conjectandi» (опубликовано на латинском языке в 1713 г.) доказал и вполне строго следующий результат.
167: Пусть |i, I2, . . . — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих два значения,
P(^1 = I)=P, P(I1=O)=^ = I-P)
(это — так называемая схема Бернулли). Если Sn = Ii+.... ...+In — сумма «успехов» за п испытаний, то частота
-У P п ^
в том смысле, что
Sn
P
п
P
>Є^0, VE>0. (4.9)
Это утверждение равносильно тому, что
Sn р
п г
или что
Fs„(X)-+F (X) = I (х>р), хе Е1\{р). (4.10)
п
Доказательство Бернулли было основано на прямом анализе функций распределений Fn(x) = Fsn(x), Для которых, очевидно,
п
Fn(X) = P(5, <пх)= 2 Clpk<Гк, (4Л1>
/гспх
что и дало возможность доказать сходимость (10).
2. Исторически следующей предельный теоремой, также доказываемой прямым анализом функций Fn (х) была теорема Муавра—Лапласа [A. De Moivre: Miscellania Analytica, 1733 in Latin Doctrine of Chances, 1738, 1756 in English, P. S. Laplace: Theorie analitique, 1812].
