Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Хотя это и не ясно сразу из данного выше определения, класс семимартингалов обладает многими «приятными» свойствами. Например, он является устойчивым по отношению ко многим преобразованиям: «остановленный» семимартингал снова есть семимартингал, «локализация» сохраняет семимартингал, семимартингал остается семимартингалом при замене времени, относительно абсолютно непрерывной замена меры, при редукции фильтраций.
Важное свойство семимартингалов состоит в том, что это они образуют тот максимальный класс процессов, по которым можно интегрировать ограниченные предсказуемые процессы с естественно предъявляемыми к интегралу свойствам типа выполнения теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла. (Подробнее см. [25].)
2. Хотя представление (3.1) семимартингала не является единственным, однако непрерывная мартингальная составляющая, обозначаемая Xе, единственна. Иначе говоря, если X= = Xo+Mi+A1 и Х=Х0+М2+А2 — два представления, то Mf = = М2С=ХС.
3. Важной характеристикой семимартингала X является его квадратическая вариация
\Х, Xb= (Х<) t + %(AXsy.
s<t
128: Если X и Y—два семимартингала, то через [X, У] обозначается их квадратическая ковариация, определенная формулой
[X, Y] = J ([X + Y, X + Y]-[X-Y, X-Y]).
В следующей теореме представлен ряд свойств [X, X] и [X, Y].
Теорема 3.14. Если X и У — семимартингалы, то
1) [X, У]ЄУ°, [Х,Х]еТ+\
2) А[Х, У] = ДХАУ;
3) если Yer, то [X, У]с = 0;
4) если YeT и является непрерывным, то [X, У] = 0;
5) если ХЄ А, то [X, Х] = [Х, Х]С = <Х>;
6) если Xej^ioc, IXI X0 = O и У является предсказуемым процессом ограниченной вариации, то [X, Y]GJl 1ос;
7) если X, YGJtloc, то XY-X0Y0-[X, Y]GJlIoc;
8) если ЛTeJTloc, то [X, X]V2e^L\
9) если XeJf1OC, УЄЖэс то [X, К] = 0;
10) \Х, Y] = (X, Y ) =0, если XeMclw, YeJtI0,, притом X и Y ортогональны,
4. Родственным понятию семимартингала является понятие квазимартингала.
Пусть X=(Xt)t>0 — согласованный процесс с траекториями из пространства D. Положим для «^2=1 и O^Zi </2< •. • <~tn
Var (X; ti,..., tn)= 2
і<;<н—і
и
Var(X)= sup E Var (X; ., tn).
n,tl...,tn
Если Var(X)<oo, то процесс X называется квазимартингалом (XeQ).
Заметим, что если Xejt, то
Var(X) = SupE I Xt I < оо t
и, значит, JlciQ. Если ХЄ&, то
оо
Var (X) <2Е J IrfXj |< оо
о
и, значит, MeQ. Отсюда выводится, что всякий специальный семимартингал является локальным квазимартингалом. На самом деле эти два класса процессов совпадают.
9—7927 6 129 § 2. Конструкция стохастических интегралов по семимартингалам
1. В том случае, когда и И — ограниченный процесс»
t
интегральный пропесс (Н-X)t = ^ HsdXs был определен в I. § 4.
о
Цель настоящего параграфа —определить интеграл Н°Х Для того случая, когда X — семимартингал.
Поскольку семимартингал не обязательно имеет локально ограниченную вариацию, то определение интеграла (HoX)t как интеграла Лебега—Стильтьеса дЛя каждого элементарного исхода становится неприемлемым.
Если семимартингал Х=Хй-\-М-\-А, где MGMxac, и то
при определении «интеграла» H-X для локально ограниченных процессов H можно было бы поступить так: по определению положить
НоХ = НоМ+НоА, (3.2)
где HoM — подлежащий еще определению «стохастический интеграл» по локальному мартингалу, а Н°А — уже определенный (в I. § 4) интеграл по А. Разумеется, при этом надо будет и установить корректность определения (3.2) в том смысле, что оно не зависит от вида представления Х=Хй-\-М-\-А.
При определении интеграла HoM по локальному мартингалу M можно идти двумя путями — основываясь либо на первом, либо втором разложении M (см. 1. § 7).
Если основываться на первом разложении, то основная трудность будет состоять в том, чтобы определить стохастический интеграл HoM по локальному мартингалу MG3@2.
Опишем соответствующую конструкцию интеграла HoM. Пусть S — множество всех процессов H= (Я;(ш)) (3a0 вида: или
H = Y I[о], где Y — ограниченная, ^"0-измер<имая случайная величина, или
H = YI]r,s\, r<_s, где Y — ограниченная, ^,-измеримая случайная
величина.
Для таких функций H полагаем по определению |0, если H = YIm iHoM)t==\Y (Msht-Mrht), если H = Y I\r,s\- {3-3) Наряду с обозначением (HoM)t используют также обозначения
С HsdMs, или jj HsdMs. о (0,<1 2
Теорема 3.15. Пусть М&Жш. Тогда отображение Н-*-Н°М, определенное формулой (3.3) для функций класса 8, может
130: быть продолжено на класс функций
Ifoc (M) = (Я:H-предсказуемы и H2о < M > e^itd так, что это расширение, также обозначаемое Н°М, обладает следующими свойствами:
1) HoM — согласованный процесс с траекториями из D;
2) H-^HoM линейно, т. е. (аН+К)оМ = аНоМ+КоМ;
3) если последовательность (Hn) предсказуемых процессов СХОДИТСЯ поточечно K Пределу Я И \Нп\КК, где KeLioz(M), то
sup|#VW — #°/W|-lo, teR+-
s<t
Расширение HoM обладает к тому же свойствами:
4) ЯоЖеЖос;
5) НоМеЖ1 если и только если HeL2 (M) = {Я: Я —предсказуемы и Н2о ( M )
6) M-mHoM линейно;
7) (HoM)0 = 0, HoM = Я°(М - M0);
