Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
и"+х3и '-M = O1 (3.16)
про которое в одной из работ ошибочно утверждается, что оно имеет только нулевые ограниченные решения.
Рассмотрим уравнение
і
lt = x + Wt + \tsds, (3.17)
о
где X — фиксировано, Wt — одномерный винеровский процесс. Обозначая r]( = |f—Wt, видим, что уравнение (3.17) эквивалентно обыкновенному уравнению r\t= (т|;+ W;)3. откуда видно, что уравнение (3.17) имеет решение %t = %t(x), но только на конечном (случайном) интервале времени [0, т(х)) и, более того, |6«(ac) I —оо при t\i(x). Положим
v(x)=Ee-™.
Поскольку т(ас)-<оо (п.н.) (достаточно, чтобы Р{т(л:)< <оо}>0), то о(л;)>0. Далее, пусть хп(х)—момент первого выхода It(At) из (—п, п). Тогда, очевидно,
t (JC)=Tn(JC)+т (|,n(J0 (х)),
что вместе со строго марковским свойством винеровского процесса дает
v(x)=Ee-x»{x)v{lXnM(x)).
Отсюда вытекает, что v — решение уравнения (3.16). В самом деле, уравнение (3.16) имеет решение на (—п, п), равное V в точках +п. По формуле (3.15) это решение совпадает с o на (—п, п). Таким образом, v — положительное ограниченное решение (3.16).
Можно пойти чуть дальше в исследовании уравнения (3.16). Аналогично показывается, что
Vl(X)=Ee^xU ( Iim It (л:)= оо)
t t T(Jf)
29 является вторым ограниченным решением (3.16). Решения Vy Vi линейно независимы (u(x)AO, уі(л:)->0 при —оо), а поэтому и любое решение уравнения (3.16) ограничено.
§ 4. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. Теоремы Гирсанова
1. Понятие стохастического дифференциального уравнения впервые появилось, по-видимому, в работах С. Н. Бернштейна [2], [3], [22] примерно пятьдесят лет тому назад. С. Н. Бернштейн понимал под стохастическим дифференциальным уравнением последовательность стохастических разностных по t уравнений и при некоторых предположениях доказывал сходимость одномерных распределений их решений к пределу при неограниченном уменьшении шага по t. При этом в стороне оставался вопрос о существовании предельного процесса, который естественно было бы назвать решением стохастического дифференциального уравнения. В работах И. И. Гихмана [9], [10], относящихся к 1950—1951 гг., проводится более последовательная точка зрения. В них уже есть решение стохастического дифференциального уравнения и само это уравнение понимается почти в современном смысле. При этом И. И. Гихман интересовался не только фактом разрешимости стохастических уравнений, но и тем, каким образом можно аналитически описать некоторые свойства их решений. В частности, он первым доказал разрешимость линейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка, причем сделал это чисто вероятностным способом.
Примерно в это же время PIto [23], [24] предложил несколько иную трактовку понятия стоха стического дифференциального уравнения и доказал разрешимость этих уравнений с помощью введенного им понятия стохастического интеграла. Подход Ито заслонил работы И. И. Гихмана, которые были «открыты» вновь только в начале 60-х годов, и явился мощным стимулом развития теории процессов марковского типа благодаря удобному, естественному и хорошо разработанному аппарату обращения со стохастическими интегралами. Этот аппарат прежде всего сделал возможным построение и изучение процессов сложной природы с помощью более простых процессов, таких как винеровский и пуассоновский. К настоящему времени имеется огромная литература, посвященная стохастическим уравнениям Ито. Часть этой литературы может быть найдена в ссылках в книгах И. И. Гихмана, А. В. Скорохода [11], Ватанабэ, Икэда [4].
2. Стохастические уравнения Ито имеют вид (3.13), где о, b могут зависеть от t и от оз. Для приложений бывает важно, имея тот или иной процесс, «угадать», какому стохастическому дифференциальному уравнению он удовлетворяет. На эту тему имеется много общих результатов, в основном связанных с
30 понятиями марковского процесса, семимартингала и с их каноническими представлениями (см. ниже гл. 3). Приведем здесь только одно правило, которое хорошо работает во многих случаях и которое весьма близко к идеям А. Н. Колмогорова [14], И. И. Гихмана [9], [10], Ито [25].
Пусть %t — непрерывный по t случайный d-мерный процесс. Обозначим ^V = O{gs, и предположим, что (в подходящем
смысле) при всяком Qs= 0 существуют пределы
IimE llt+h-lt = :b„ (4.1)
мо
IimE {li+n-li) I ?}} = (4.2)
It і о
Вектор bt называется вектором сноса, матрица at=(at^) —матрицей диффузии. Очевидно, Ui^0. Обозначим Ot = Yat- Оказывается, что при широких предположениях или на исходном вероятностном пространстве или на его расширении существует d-мерный винеровский процесс (Wi, 9"tl) такой, что d%,t — = btdt-\-atdWt. Если в (4.1), (4.2) мы имеем bt = b(%t), Cit = = a(\t), для некоторых, вообще говоря, случайных функций bt(x), at(x) на [0, оо)\Q\Ed, то получается, что удовлетворяет стохастическому уравнению Ито
db = bt(b)dt+Ot(b)dWt, (4.3)
где ot(x) =^2at(x). В том случае, когда bt(x), at(x) не зависят от м, говорят, что процесс %t является диффузионным.
