Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
1. Как устроен носитель решения стохастического дифференциального уравнения
dXt = o(Xt)dWt+b(Xt)df> (1.25)
Оказывается, гораздо легче ответить на этот вопрос, если его слегка перефразировать: как устроен носитель решения стохастического дифференциального уравнения
dXt = a(Xt)°dWt+b(Xt)dt, (1.26)
где знак ° указывает на то, что дифференциал понимается в смысле Стратоновича (см. § 1 гл. III [3]). Ответ имеет следующий вид. Если обозначить
<?(х) = {Х\Х = X+ ] G(Xt)Wtdt + \b(Xt)dt, о о
W—произвольная гладкая функция},
64: то носитель распределения решения уравнения (1.26) с начальным условием X0=X есть Sp(X). В основе этого факта лежат два обстоятельства:
1) для гладких траекторий W уравнение (1.26) (как, впрочем и, (1.25)) можно решать как обыкновенное дифференциальное уравнение;
2) отображение W-*-X, определяемое (1.26), «непрерывно» (см. раздел 8 § 1 и раздел 32.5 [19]).
Остается только понять, откуда в этой проблематике появилось уравнение в форме Стратоновича (1.26). Оказывается, форма Стратоновича нужна, чтобы обеспечить свойство непрерывности решения как функции винеровской траектории. Возьмем простейшее одномерное уравнение:
dXt = a(Xt)dWt, (1.27)
где функция о гладкая и равномерно положительная. На множестве гладких траекторий W определено отображение, ставящее гладкой функции W в соответствие решение X обыкновенного дифференциального уравнения
dXf = о (X1) Wtdt
с начальным условием Х0 = х. Убедимся, что это отображение допускает непрерывное продолжение на все непрерывные траектории W. Обозначим
и
^") = 1^7' "6(-°°- 00)-
x
G — функцию, обратную к F. Тогда Xi = G(Wt), оо), будет искомым продолжением. Но Xt = G(Wt), і6[0, оо), не является решением (1.27): по формуле Ито
dXt=^(Wt)dWt + \ J^L(Wt)dt,
или, переходя от Q обратно к F,
dXt = a (Xt) dWt + -і- о~ (Xt) dt = а (Xt)OdWt\.
Наконец, покажем, как выглядит ответ на первоначальный вопрос в одномерном случае. Эквивалентная запись уравнения (1.25)
dXt^c(XtydWt + (b-±-o ^j(Xt)dt,
(см. формулу (1.10) § 1 гл. III [3]). Таким образом, чтобы получить носитель распределения решения уравнения (1.25) с
5—7927 6 65 начальным условием Хо = х, нужно замкнуть множество
{X:X = X -b f a(Xt) Wtdt + j (b - а -?-) (Xt) dt, 6 ov '
.W—произвольная гладкая функция}.
Перейдем к точным формулировкам. Фиксируем натуральное d.
Пусть С—пространство непрерывных функций на [0, оо) со значениями в Ed с топологией равномерной сходимости на конечных отрезках, cSl — его борелевская а-алгебра, С — естественный поток о-алгебр на С.
Пусть на Ed заданы удовлетворяющие условию Липшица функции а = а(х) и b = b(x) со значениями в пространстве dX Xd-матриц ив Ed соответственно.
Теорема 1.29 (теорема 4.20 § 4 гл. II [50] или теорема 8.1 гл. VI [3]). Пусть xGEd, X — решение уравнения (1.26) с начальным условием Хо = х, Px— его распределение. Тогда supp Px=^(X).
Доказательство проводится следующим образом. Фиксируем вероятностное пространство (Q, Sr, Р) и определенный на нем винеровский процесс W. Введем кусочно-линейный процесс W', аппроксимирующий при є-»-0 винеровский процесс W, и по нему построим процесс Xе, удовлетворяющий уравнению
Xe= X+\ O(Xet)dWz+ \b(X*)dt. о о
Показывается, что распределение Xе слабо сходится при є-»-0 к мере Px, а значит, справедливо включение supp PxS^p (х), где
?г(х) = \хбС:Х = х+\ o(Xt)dWt+\ Ь (Xt) dt, W-
{ о о
произвольная кусочно-гладкая функция из С L
Нетрудно понять, что Pv(X) = P(X), а значит, supp PjrC^(,я). На самом же деле здесь имеет место равенство. Это вытекает из следующей теоремы.
Теорема 1.30 (теорема 4.20 § 4 гл. II [50] или теорема 8.2 гл. VI [3]). Пусть xGEd, VGC — гладкая функция, Xv — решение уравнения
Xy=x + \a(Xy)Vtdt + ib(XV)dt,
о о
66: X — решение уравнения (1.26) с начальным условием X0=X. Тогда для любых s>0 и Г>0
Hm Р( sup \Xt — XY\>&\ sup | | <6) = 0.
6*0 /?[0,7-] I'?[0,7-]
Стохастические дифференциалы Ито и Стратоновича связаны соотношением
o(Xt)odWt = o(Xt)dWt + ~o(Wt)dt,
где a-rf-мерный вектор, г-ая координата которого равна trj^ff), O1-I-ая строка матрицы сг (см. §1 гл. III[3]). Поэтому для уравнения Ито (1.25) теорема 1.29 модифицируется следующим образом.
Теорема 1.31. Пусть xGEd, X — решение уравнения (1.25) с начальным условием Х0=х. Тогда носитель распределения. X — это замыкание множества
\х:Х = х + § o(Xt)Wtdt + § (b — a)(Xt)dt,
1 о о
W — произвольная гладкая функция}.
Известная глубокая связь между теорией диффузионных процессов и теорией уравнений с частными производными применительно к теореме 1.30 проявляется в выводимом из этой теоремы в качестве следствия принципе максимума. Сформулируем его в виде отдельной теоремы 1.32.
Пусть G— открытое множество в E1XEd, udC],2(G),
"зг+т
t,j= 1 I = I
в О, (t0,x0)(+G, Q(t0, х0) — замыкание в О точек (tx, Ytl_to), где tx>tQ, Y^P(X0) и (t,yt_to)eG при всех t?[t0, tx\.
Теорема 1.32. (следствие (4.21) § 4 гл. II [50]). Если
