Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
89: § 5. Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных. I. Первая краевая задача для нелинейных уравнений параболического типа
1. Все рассмотрения этого и следующего раздела проводятся в пространствах Соболева. Пусть Ed— d-мерное евклидово пространство, G— область в Ed, Г—граница G, т — целое число, т^ 1, рб(1, оо). Напомним, что пространством Соболева Wpm(G) называется пространство действительных функций на G с конечной нормой
И U.p: = ( 2 \\®Л1...2>ати\\рруР,
п ® •
где 2) '...SD "' — обобщенные производные; пространством.
о
Соболева Wp (О) называется замыкание Со"(G) P норме ||-|jm,P.
Пусть (й, Sr, Р)—полное вероятностное пространство с возрастающим потоком полных о-алгебр (STt), G —
ограниченная область с регулярной границей (об условиях регулярности см., например, С. М. Никольский [10]), либо G = Ed, P=2, 2 (d—mp)^.dp, z(t)—квадратично интегрируемый мартингал (относительно (Sr1)) со значениями в L2(G), непрерывный по t в L2(G), W(t) —винеровский процесс со значениями в
некотором сепарабельном гильбертовом пространстве E и ко-
0
вариационным оператором Q. Пространства V=W1^(G), H = = L2(G), V* = W^m (G), q=p/(p—1), удовлетворяют предположениям а)—г) § 4.
Рассмотрим в цилиндре [0, /]XG при фиксированном Т>0 нелинейную задачу
du(t,x, co)=-(-l)le,l+"-+l4z>a'...
.. . .2>mu(t, X, со), t, X, со) dt +
+ В(Ф^...afmu(t, X, со), t, X, u)dW(t)+dz(t, X, со), (2.9) «(0, X, со) = Иц(х, со), ХЄО, (2.10)
.^m~'u\s = 0 (2.11)
для всех ?0, ..., ?m-i, таких что
l?ol+...+l?m-iKm-І,
где S — боковая поверхность цилиндра. Как обычно, здесь предполагается суммирование по повторяющимся индексам а,-,
90: функции А, В зависят от t, х, © и всех производных и по х порядка до т; А, и — действительные функции, В — функция со значениями в Е, во втором слагаемом BdW в (2.9) имеется в виду скалярное произведение в Е.
Предполагается, что для любого набора действительных чисел l = и любого е?Е функции A(l, t, X, to), В( S, t, X, (о)Є =
= (?(g, t, X, со), е)Е измеримы по (t, X, to), при каждом Т\ они измеримы по {х, со) относительно произведения Sid (борелевской о-алгебры в Ed) на STt, при каждых t, х, со они непрерывны по g. Пусть еще существует постоянная К>0 и неотрицательная функция f(t, X, со), обладающая теми же свойствами измеримости, что и А (0, t, х, со), такие, что при всех t, х, со,
?, CXi, ¦ • ., CCm
I t, X, со) I X, со) +
+ Л" 2 |ёР'.....pmT1, (2.12)
p....-Pm
I В (I, t, X, со)| !</(*, X, и) +
+ К 2 ......Р"гр + ^||0'""°|2. (2.13)
Кроме того, предполагается, что Uo (х, со) измерима относительно MdXST0, И при всех t, СО ||Но|І2<00, 11/(0 Il 1 <00>
T
EKI^oo, E j |] / (Olli dt <С ос . о
Эти предположения позволяют придать точный смысл уравнению (2.9) и условиям (2.10), (2.11).
Определение 1. У-решением (//-решением) задачи (2.9) — (2.11) называется У-решение (//-решение) уравнения (2.6). Аналогично определяется непрерывная в H модификация решения (2.9) — (2.11). Можно также сформулировать эквивалентное определение с помощью интегрального тождества (('г)о — скалярное произведение в L2(G)) t
(-0(0, Л)о=(«о> ^0-J (Ax1...am(0>P'. • S), . )0ds +
О
t
H-J' j s, х) г) (х) dxdW (s)+(z(0, л)0 (2.14)
о Rd
п. в. (/, со) для любого Т)бУ.
2. Определение 2. Говорят, что уравнение (2.9) удовлетворяет условию сильной параболичности, если операторы
91: А, В удовлетворяют условиям (A2), (A3) из § 4. Следующая теорема автоматически следует из результатов § 4.
Теорема 2.10. Если уравнение (2.9) сильно параболично, то справедливы утверждения теорем 2.8 и 2.9.
В общем виде условия сильной параболичности труднопро-веряемы. Все же, обобщая результаты М. И. Вишика [5], можно дать следующее простое достаточное условие для сильной параболичности уравнения (2.9), называемое алгебраическим условием сильной параболичности:
А) существуют такие постоянные N и є>0, что для всех
л0".....Ч t, х, о
Pmi t, x)r]ai' ¦¦¦• +
oti.. • ат
+ 1 .....Ч t, ^""'H +
_|_.е V j ат|р-2| TjaI' •••• (2.15)
ja,I + .. . + Iат|=/л
<iV(Tj0---"0)2,
где
A^-Pm • = _І_Aa
Oi ¦ ¦ ¦ ат' ----- ?„
д
Vtn
= я в Д,
и во втором члене левой части (2.15) суммирование по ?i, ..., . . ., ?m производится ДО вычисления нормы I • Iq. Подробнее см. Н. В. Крылов, Б. Jl. Розовский [8].
§ 6. Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных. II. Задача Коши для линейных уравнений второго порядка
1. Рассмотрим задачу (2.9) в предположении, что т — 1, G = =Ea, р=2, А, В — линейные функции вообще говоря, не равные нулю при | = 0. Все предположения (2.12) — (2.13) и измеримости считаются выполненными. Задача (2.9) — (2.11) превращается тогда в следующую:
du(t, jc)=.2>«(a«?(*f x)3№u(t, x) + fa(t, x))dt -f
+ (ba(t,' x)2>*u(t, x) + g(t, X))d\V(t) + dz(t, x), (2Л6>
u(t, ¦)QL2(Ed), u(0, х)=щ(х), xQEd, (2.17)
причем aoP, /о-—действительные функции, ba, g — функции со значениями в Е. Условия (2.12), (2.13) эквивалентны требова-
