Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Определение 1.8. Слабым решением уравнения (1.30) называется процесс X, определенный на некотором стохастическом базисе (й, ?Г, F, Р) с F-винеровским процессом W такой, что X F-согласован, процесс
Ф == (ф/ = А", — A^0 — J /о (Ar1) (а, (Л-) rfU?', + (^) rfs), *Є[0, «>)j
имеет ограниченную вариацию |ф|, dy&do"{ (Xt) d | Ф 11 dPdt почти всюду и /до (Xt) dt= рДХ) d j ф I t.
Если то получаем мгновенное отражение.
Если р = то на границе решение (1.30) проводит
положительное время, снос у на границе ничем не отличается от обычного сноса диффузионного процесса во всем пространстве.
Теорема 1.41 (теорема 3.1 [52]; см. также § 7 гл. IV [3]). Пусть О—Сь2-гладкая, у непрерывно, на множестве {^,ЄеЮ} (p+,(V>n) bW равномерно положительно и ограничено, ст непрерывно, равномерно положительно определено и ограничено, b измеримо и ограничено. Тогда решение (1.30) существует.
Набросок доказательства. Пусть сначала <Выпус-
тим» решение стохастического дифференциального уравнения с коэффициентами ст,-6 до момента выхода на границу области. В точке выхода — обозначим ее х —оно сидит случайное время s,
P (s> t) = e~Ki, затем прыгает в точку J- ч (х) и т. д. При % со
А '
распределение X слабо сходится, предел является решением (1.30) (ср. с теоремой 1.16 § Ib об эквивалеітности решений проблемы мартингалов и слабых решений). Чтобы получить произвольное р из p = /pagooj, нужно сделать замену времени
t
Tr-= 5 (р,
о
Теорема 1.42 (теорема 5.7 [52]). Пусть функции ст и р являются марковскими, то есть существуют борелевские функции стм и рм на [0, оо) X^d, принимающие значения в пространстве dX^-матриц и в [0, оо) соответственно, такие что at(X) =Om(t, Xt),pt(X) =рM(t, Xt), и:
1) ОмОм* непрерывна по х равномерно по t и положительно определена;
76:2) Y и р удовлетворяют условию Липшица, причем р либо тождественный нуль, либо в нуль не обращается;
3) b ограничено.
Тогда решение уравнения (1.30) единственно в смысле распределения на (C1W) (то есть слабо единственно).
Доказательство слабой единственности проводится так же, как и во всем пространстве, см. конец § 1 Ь.
Можно было бы определить и сильные решения уравнения (1.30), но, видимо, их вообще не бывает: в своем докладе на конференции «Вероятностные модели процессов управления и надежности» 24—27 мая 1988 г. в Донецке Р. Я. Читашвили опроверг существование сильного решения даже для винеровского процесса в [0, оо) при р = /|д-5 = о}-
ЛИТЕРАТУРА
1. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. M.: Наука, 1977,— 352 с.
2. Благовещенский Ю. И., Фрейдлин М. И. Некоторые свойства диффузионных процессов, зависящих от параметра // Докл. АН СССР.— 1961.— 138, № 3.™ С. 508—511
3. Ватанабэ С., Икэда И. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. M.: Наука, 1986.— 446 с.
4. Веретенников А. Ю. О сильных решениях стохастических дифференциальных уравнений // Теория вероятностей и ее применения.— 1979.-- 24. № 2— С. 348-360
5. — О сильных решениях и явных формулах для решений стохастических интегральных уравнений // Мат. сб. 1980.— 111 (153), № 3.— С. 434— 452
6. — Параболические уравнения и стохастические уравнения Ито с коэффициентами, разрывными по времени // Мат. заметки.— 1982.— 31, № 4.— С. 549—557
7. — О стохастических уравнениях с вырождающейся по части переменных диффузией // Изв. АН СССР. Сер. Мат.— 1983,— 47, № 1,— С. 189—196
8. — Об оценках скорости перемешивания для стохастических уравнений // Теория вероятностей и ее применения.— 1987.— 32, № 2.— С. 299—308
9. —, Клепцына М. Л. О сильных решениях немарковских стохастических уравнений.— В кн. Методы исследования нелинейных систем управления. M.: Наука. 1983,— С. 3—8
10. —, — О потраекторном подходе к стохастическим дифференциальным уравнениям // Статистика и управление случайными процессами. Сб. ст. п/ред. А. Н. Ширяева. M.: Наука, 1989,— С. 22—23
11. Звонкин А. К. Преобразование фазового пространства диффузионного процесса, уничтожающее снос // Мат. сб.— 1974.— 93 (135), № 1.— С. 129—149
12. —, Крылов И. В. О сильных решениях стохастических, дифференциальных уравнений // Тр. школы-семинара по теории случайных процессов (Друскининкай.— 1974). II. Вильнюс: Ин-т физики и математики.— 1975.— С. 9—88
13. Ито К-, Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории.— M.: Мир, 1968,— 394 с.
14. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы.— M.: Мир, 1971,— 392 с.
77:15. Клепцына М. Л. О сильных решениях стохастических уравнений с вырождающимися коэффициентами // Теория вероятностей и ее применения. — 1984. 29, № 2,— С. 392—396
16. ¦—. Теоремы сравнения, существования и единственности для стохастических дифференциальных уравнений // Теория вероятностей и ее применения,— 1985. 30, № іС. 147—152
17. —, Веретенников А. Ю. О сильных решениях стохастических уравнений с вырождающей диффузией // Тезисы докл. XV Всесоюз. зимней матем. школы — колл. по теории вероятн. и матем. статистике (Бакуриани.— 1981). Тбилиси: Изд-во Мецниереба,— 1981,— С. 10—11