Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
V(dt, dx) = dtK (Xt, dx),\^K(x, dy)(\ у jz/\l)< оо.
ZT1
Обозначим также t
Ci = [c(Xs)ds, с (х) = с (х)+\ h2 (у) К (X, dy)
О E1
и будем предполагать, что соответствующая проблема мартингалов имеет единственное решение Px (для каждого начального состояния Х0=х).
В этом предположении процесс X является марковским. При этом, если f = f(x)?C2 и
Sfif (х) = Ь(х)% + \с(х)% + + 5 К (X, dy)[f (х + у)~ f (у)-к(у)д-Ц^\
то
t
f (Xt)-f (X0)-^f (Xs) ds о
— локальный мартингал (относительно любой из мер P*, Jtef1) и значит, — расширенный инфинитезимальный оператор процесса X.
14* 211Что же касается процессов Xn, п^-1, то мы будем предполагать, что они имеют ту же структуру, что и процесс X с t t
Bn = ^bn (Xn) ds, Cnt== jj Cn (Xn) ds, о о
t
vn (dt, dx) = dtKn(X" , dx), С" =J Cn (Xns) ds.
о
Однако, мы не предполагаем единственности решения соответствующей мартингальной проблемы, так что Xй, вообще говоря, не марковский процесс.
Предположим, что набор (b, с, К) таков, что
Iim sup К(X, {у:\у\> Ь})=0, а>0, (4.94)
Ь ¦t ос
функции x-+b(x), с(х), ^K(х, dy)g(y) являются непрерывными
для gee, (4.95)
Пусть также
b"^b, сп^с, \Kn(-, d'j)g(y)^I<(-, dy)g(y) (4.96)
E1 E1
локально равномерно, g6Cb
TinIri, где VT = S(Xn), ^ = S(X0). (4 97)
Теорема 4.26. Если выполнены условия (4.94)-(4.97), то
w ґ1
2? (Xn)^V = Mdx).
E1
Замечание. Предположим, что Xn — марковский процесс, п^-1, с расширенным инфинитезимальным оператором Тогда условия (4.96) равносильны тому, что
локально равномерно для всех /ЄС2. (4.98)
Тем самым в марковском случае из теоремы 26 получаем известную теорему Троттера—Като: если выполнены условия
w
(4.95), (4.96), (4.98), то S(Xn)-+?.
Пример 2. Сходимость чисто скачкообразных марковских процессов к диффузионному. Пусть Xn чисто скачкообразный марковский процесс с
^V(JC)=J Kn (X, dy)[f(x + y)-f(x)\, (4.99)
Ei
где АГ" — конечная переходная мера на E1. Тогда
Ьп(х)=[кп(х, dy)h(ij), сп(х) = 0, ? = J h2 (у) Kn (х, dy).
E1
212:Для простоты будем предполагать, что / | у \ 2Kn (х, dij) < оо, В этом предположении можно брать h (у)= у2. Пусть также X — диффузионный процесс (с /( = 0) и пусть
bn^b, сп^с локально равномерно, (4.100) sup Jj Kn (X, dy)\ijf/(\y\>4)^0,n\oo,H>0. (4.101)
1 ^ E1
d
Л" rI (4.102)
Теорема 27. В предположениях (4.99) — (4.102) распределения S(Xn) слабо сходятся к P= / r\(dx)Px — распределению диффузионного процесса с коэффициентами Ь, с и начальным распределением г|.
Пример 3. В предыдущем примере пусть Г]п —Г]=?.« для некоторого x?R (єх—распределение, сосредоточенное в точке х), выполнены условие (4.101) и условия
bn-*b, Cn^0 локально равномерно, (4.103)
b = b(x) —удовлетворяет условию Липшица (4.104) В этих предположениях предельный процесс X является вырожденным, т. е. мера Px «сидит» на решении уравнения dxt(x)=b(xt(x))dt, X0(X)=X,
и значит
sup j Xns - xs (х)| L 0, t> 0 (4.105)
поскольку сходимость Скорохода к непрерывной функции совпадает с локально равномерной сходимостью. Оказывается, что из предшествующих результатов легко получить уточнение скорости сходимости в (4.105).
Теорема 4.28. Пусть (ап) n>i последовательность положительных чисел таких, что и
alc"->c локально равномерно, (4.106)
с = с (х) — непрерывная функция;
Um su^a2n[Kn(x,dy)\y\2/{\yi>~\ = 0, а> 0, є>0. (4.107) п \х\<а J1 1 "л)
Тогда процесс
Yni =ап[ xl-Xn0-^bn (Xn)^ds
сходится по ра'спределеіию к непрерывному гауссовскому процессу с независимыми приращениями и триплетом Г=(0, С(х), 0), t
где С (A:),= ^ Ci(ATi(Ar))^S.
б
213:Таким образом символически можчо записать, что
t
Xl = х'і + \ bn (xs (X)) ds + — Y1. (4.108)
d »H
0
§ 8. О проблеме мартингалов
1. Остановимся кратко на результатах, относящихся к «проблеме мартингалов», имеющей прямое отношение к этапу III («идентификация»), в котором все слабые пределы P' = = W-Iim Pn' отождествляются с распределениеме вероятностей P семимартингала X с триплетом T=(B,C,v). Выше была сформулирована теорема 4.23, в которой предельный процесс оказывался семимартингалом, с заданным триплетом (B,C,v). Так что нужно заняться вопросом о том, когда триплет семимартингала однозначно определяет его распределение. Без каких-либо дополнительных предположений, конечно, триплет не определяет распределение однозначно. Достаточно, например, рассмотреть уравнение dxt = b (xt)dt, у которого существует решение, но не единственное. Так что в этом случае триплет
t
7=(5,0,0), Bt = ^b(xs)ds.
о
не определяет «распределение» вырожденного семимартингала однозначно.
Сформулируем «семимартингальную» проблему в ее полной общности.
Ингредиентами этой проблемы являются:
(1) измеримое пространство (Q, F) с потоком о-алгебр F = = (9~t)ts.о, где F0^F s<f;
2) X=(X((O)))fsiO-COMacoBaHHbUi процесс со значениями в пространстве D («кандидат» быть семимартингалом);
(3) триплет T — (В, С, v) («кандидат» быть триплетом семимартингала X), где В — F-предсказуемый процесс локально ограниченной вариации, Bo = 0; С—F-предсказуемый непрерывный неубывающий процесс, C0=0; v — F-предсказуемая случайная мера на R.-XE1, такая что v (^+X(O)) =л> ({0} Х?') =0> (х2Д 1) *\'(<оо, Jv(co; {t} Xdx) h (х) =ABi(Hi), v(co; {t}XEl)^U Ji = h(x) —функция урезания.