Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Анулова С.В. -> "Стоханическое исчисление " -> 28

Стоханическое исчисление - Анулова С.В.

Анулова С.В., Веретенников А.Ю., Крылов Н.В., Липцер Р.Ш. Стоханическое исчисление — ВИНИТИ, 1989. — 260 c.
Скачать (прямая ссылка): ischesleniyastoh1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 93 >> Следующая


u(t0, X0) = max и, то и|0((о>Хо) = и(*0, JC0).

а

Доказательство основано на вычислении математического ожидания u(t,Xt) по формуле Ито. При этом используется приведенное выше соотношение между стохастическими дифференциалами Ито и Стратоновича.

2. Пусть X — диффузионный процесс. Иногда возникают следующие вопросы: какая из двух данных гладких кривых, начинающихся в одной и той же точке, более вероятна как траектория Х\ какая среди всех возможных гладких кривых, соединяющих две заданные точки, наиболее вероятна как траектория X? Дать ответ на эти вопросы позволяет вычисление меры трубчатой области вокруг гладкой кривой.

5* 67 Пусть О, xGEd, функция b : Ed-^Ed принадлежит С°° и ее производные ограничены,

X = x + W+'$b(Xt)dt, с

УєС2([0, оо), Ed), F0 = O.

Теорема 1.33 (теорема 5.15 § 5 гл. II [50]). Существуют числа С и Л>0 такие, что

Р( sup \ Xt — К, I < е)~Се~КТ!г' X

^ [0,7-]

X exp ( - у Jl Yt-b (Yt) |2 dt - -I- 5 div b (Yt) \ ~ б ""о

при ejo.

Пример (замечание 5.15 § 5 гл. II [50]). Пусть процесс X за время T переходит из нуля в XtEd. Наиболее вероятная траектория Y должна минимизировать функционал

T г

y^\Yt-b(Yt)?dt + y J div b (Yt) dt.

о о

Обычная техника вариационного исчисления позволяет получить уравнение Эйлера для этой задачи. В частности, при Ь =

=0, очевидно, Yt=tJ X, fe[0, Т].

В заключение отметим, что результаты, изложенные в этом парграфе, принадлежат Струку и Варадану [53], [54].

§ 6. Стохастические дифференциальные уравнения в областях

1. Неформальное описание и основные обозначения. Пусть дана замкнутая область в евклидовом пространстве. Попытаемся уяснить для себя, как устроен процесс, принимающий значения в этой замкнутой области и ведущий себя как решение стохастического дифференциального уравнения. Видимо, на границе такой процесс должен испытывать некоторое воздействие, обеспечивающее его удержание в замкнутой области. Естественно представлять себе это воздействие как своеобразный снос в стохастическом дифференциальном уравнении и приписать каждой точке границы направление сноса. Итак, рассмотрим уравнение

dXt = o(Xt)dWt+b(Xt)dt+dyt,

68: где ф — «снос на границе», являющийся непрерывным процессом ограниченной вариации, возрастающим только на границе, направление которого в точке х границы есть х), |^(л;)|=1:-

dyt=Iao(Xt)y(Xt)d\y\t,

(дО — граница области, [ф] обозначает вариацию ф). В отличие от обычного сноса этот снос ф как функция времени, как правило, является сингулярным. Вот простейший пример —« винеровский процесс в [0, со), отражающийся от точки О:

dXt = dWt+dq>t, ф( — непрерывный возрастающий процесс,

^ф,= I{o}(Xt)dq>t, Ф0 = 0, W0 = O. Поскольку Wt-\-(pt = Xt>0, то Фt>-Wt, но ф;=шахф5> > max ( — Ws.) = min Ws. Оказывается, однако (это было установле-

но А. В. Скороходом, см. [27], раздел 3.9), имеет место равенство Ф,— — min Ws. Так как в силу закона повторного логарифма

(см. раздел 1.8 [13]) с вероятностью 1 min Ws является сингуляр-

SgKM]

ной функцией по t типа канторовой «лестницы», то и ф является сингулярной функцией по t.

Как искать решение стохастического дифференциального уравнения в области? Как и в случае всего пространства, естественно рассмотреть последовательные приближения (ср. доказательство теоремы 4.6 гл. 4 [26]):

dXnt = a (Xnt"1 )dWt + b (ХпҐ) dt +

U?h(A7)d I ф? I.

Таким образом, для каждого элементарного события мы должны решить следующую детерминированную задачу: по заданной траектории, в данном случае по функции

l{o{xr')dwt+b(xr')dt),

о

построить отражающий процесс (фп) и отраженную траекторию (^n). К решению этой задачи, оказывается, в принципе сводится вся проблематика стохастических дифференциальных уравнений с отражением. Называется она задачей Скорохода, который впервые рассмотрел ее в одномерном случае в [32] (см. изложение в гл. III раздел 4.2 [3]).

Прежде чем переходить к точным формулировкам, введем обозначения. При этом для большей общности разрешим в каждой точке границы іиметь не одно направление отражения,: а целое множество.

6& Такая ситуация естественно возникает в случае разрывного поля ч — в точках разрыва приходится допускать выпуклое замыкание предельных значений 4. Например, при нормальном отражении в выпуклой области в качестве возможных направлений отражения допускаются все нормали в данной точке.

Фиксируем натуральное d. Обозначим С — пространство непрерывных функций на [0, оо) со значениями в Ed с топологией равномерной сходимости на конечных отрезках, 1SP — его борелевскую о-алгебру, С — естественный поток ст-алгебр на С.

О — область в Ей, дО — ее граница, O = OUdO, 4 : dO-+Ed многозначная функция, ставящая в соответствие xGdO некоторое множество ч(х) векторов из Ed с единичной длиной.

2. Задача Скорохода. Для функции WGC с Wo^O рассмотрим «задачу Скорохода»: найти функцию ?(?7), такую, что

1) функция ?(?7) принимает значения в О;

2) функция ф = Ф(и?) — W в нуле равна нулю, имеет локально ограниченную вариацию |<р| и для почти всех t по ме-
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 93 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed