Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
10 Доказательство. Из равенства Парсеваля для разложений в ряд Фурье на [—я, я] функций /(|лс| <*), /(|x|<s) как функций от х следует, что при t, s6[0, я]
OO
— (t - sf+~ 2 (sin nt -sin nsf= 1
2 J (1-3)
Возьмем далее -^-j и положим
зі Я Ґ OO , -
с W=4-1 J' |(J]1+4tt ( 2-ЇГ (sin А / - Sin ftS)2 ) dtds. Из (1.3) следует, что
Я 71
с (1) < і I -dtds < OO .
Следовательно, с(п)->О при п-> оо, и можно определить N (к) так, чтобы с (N (к)) < 2"к. Теперь обозначим = — -Wkr Тогда по лемме 1.1 при р= 4, S= 0, учитывая простую связь между вторым и четвертым моментом гауссовских величин, заключаем
ГС 71
E sup I б* I4 С сДп4«-1 ( f---E 16* —6*1 ^dtds =
<ЄЮ,7іі '' 0 ІІ і ^si1+4* ' fl
я Я /Щк+l) у
= cJ I TT-W 2 -^(sin^-sin^)2 dtds<
о О ! t—S \N(k)+i 1
<с2с (Nik)Xc22"*, (1.4)
где C2 не зависит от k. Отсюда и из неравенства Гёльдера следует, что величина
оо
2 sup \Wk+* — W*l, fc^i'ei0'"]
имеет конечное ожидание и потому конечна (п. н.). Тем самым доказано, что последовательность (1.2) в самом деле сходится равномерно по t (п. н.) к некоторому непрерывному процессу, который мы обозначим Wt. Очевидно, Wt — гауссовский процесс, EWj = O. Наконец, из (1.3) получаем E | Wt-Ws |2= 11—s |, EWt2 = t, EWs2=s, EWiWs = ^As, что и требовалось.
С помощью винеровского процесса на [0, я] можно построить винеровский процесс на [0, оо), склеивая независимые эк-
11 земпляры процессов Wt", t^n, п^О (каждый из которых задается, например, рядом вида (1.2)) по правилу
Wt-
wI +^U' n<t<2n,
Wi + Wl + Wl^, 2л<*<3л, и т. д.
3. Винеровский процесс играет весьма важную роль в теории случайных процессов, и поэтому изучению его свойств было уделено значительное внимание. Перечислим лишь некоторые из них и укажем, что большую информацию о свойствах винеровского процесса читатель сможет найти, например, в книге Ито, Маккин [13].
Теорема 1.2. Следующие утверждения эквивалентны:
1. Wt—винеровский процесс;
2. Wt — непрерывный процесс (п.н.) такой, что a) W0 = O (п.н.), б) Wt — Ws ~ ,/Г (0, \t — S в) Wt.,Wt -Wti, ..., Win-Wtn^ независимы при любых 0<?, < . . .
3. Wt —непрерывный процесс (п.н.) такой, что a) W0 = O(п.н.), б) Wt — Ws ~ Ж (0, \t — S I), в) для любых 0 случайная величина W1 -Wt не зависит от IWt,, .. .,Wt ).
tn 1Il-I 4 " ' 1H- 1>
Глубокие свойства, показывающие сильную нерегулярность траекторий винеровского процесса, были найдены А. Я. Хпнчи-ным и П. Леви.
Теорема 1.3 (закон повторного логарифма, А. Я- Хинчин). С вероятностью 1
ш - ^ Iim- ^ =-1.
! / 'It In In _L ^0 1 Annln.1
Теорема 1.4 (о модуле непрерывности П. Леви). С вероятностью 1,
Hm _\Wt-Ws_\_ __1;
Y21
=t—s-r0 1/ 2и In 1 а
Теоремы 1.3, 1.4 показывают, что I Wr |<С(со)]/А2г1п In-Jr.
j Wt-,Ws |<С(ю) |Aj t~s I1V-Si при OCf1 s, г <1, причем
С (со) может быть взято сколь угодно близким к 1 справа, если \t — S |, г достаточно малы. Доказательства теорем 1.3, 1.4 до-
Запись \~Jf (а, Ъ) означает, что случайная величина имеет нормальное (гауссовское) распределение с математическим ожиданием а и дисперсией Ь.
12 статочно сложны. Поэтому полезно иметь в виду, что из леммы 1.1 легко получить несколько более грубые результаты: если фиксировать постоянную 1/2), то Для почти всякого со найдется С (со) <оо такое, что \Wt — Ws |<С(ю) —s |0/2)-е при ВСехО< -C^, S-Cl, в частности, IWA < С (со) (1Z2)-^e. Действительно, Дос-
1 є 2
таточно в лемме 1.1 взять ---• P = -7". /(0 = W<> и за"
метить, что интеграл справа в (1.1) при почти всех со конечен, так как E \WX — Wy \р = TV Jjc — у гДе TV = E | Цр, 1),
откуда
11 р 11
Ejj \w*~w«\ dxdy = N j j idxdy < со.
о O ! x—y l^ap о о
Еще одно свойство, показывающее нерегулярность траекторий винеровского процесса и играющее важную роль в теории интеграла Ито, носит название теоремы о квадратичной вариации.
Теорема 1.5. Пусть O^.s<.t<.oo, s = t0j n^ ¦ • • =? ^tkn, n — t — последовательность разбиений [s, t], диаметр которых стремится к нулю при п-*-оо. Пусть Wt, bt — два независимых винеровских процесса. Тогда при п-*-оо по вероятности
V-'
2 W^un-WfiJ^t-s, о
"п-1 о
Доказательство этой теоремы вполне элементарно и основано на том, что дисперсии рассматриваемых сумм легко считаются и оказывается, что они стремятся к нулю.
Из теоремы о квадратичной вариации вытекает, что с вероятностью 1 обычная вариация винеровской траектории по [s, t] равна бесконечности. Действительно,
kU-'
О <
при оо на тех со, для которых Var Wr(со)< оо.
[¦мі
С точки зрения теории функций действительной переменной почти всякая траектория Wt обладает довольно экзотическими свойствами нерегулярности. Однако они же позволяют некоторым функционалам от винеровской траектории обладать необычной регулярностью. Например, если функция f(x) является
13 только борелевской локально суммируемой в квадрате, то
і
$f(x + kt)dt о
не будет даже непрерывной функцией от X, если ht — гладкая функция от t. В то же время при почти всяком со функция
