Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому Xn-^aW, где константа а приводится в конце п. 4. 6. Приведем два примера.
Пример 1. Пусть Z=(Z()(eEі —случайный процесс с однородными и независимыми приращениями, с непрерывными справа и имеющими пределы слева траекториями, с
E(Z,'-Zs)2 = |E(Z,-Zs) = 0.
Стационарный в узком смысле случайный процесс I=(It)^E* определяется с помощью стохастического интеграла
t
It = j b{t-s)dZs
— OO
от измеримой функции b = b(t) с
со
f b2(t)dt<oo.
о
B1 этом случае а-алгебра J1 — содержит множества меры О или 1, условие (4.119) равносильно условию
СО Ґ OO \ 1/2
j'Uo2(s)rfsJ dt<OO (4.120)
jE(Uo)^ = jk(s) ^b (и) duds. (4.121)
О OO
S
Поэтому при выполнении (4.120) Xn-^aW с константой а = ( ? '
= ]2 \ 6(s) \ b (и)duds\ . В частности, если в дополнение к
і о о (4.120) выполнено и условие
jj |&(s)|ds<oo,
то
а =
OO
15—7927
225 Пример 2. Пусть i=(if)f5>o — стационарный в узком смысле эргодический процесс с
IloKC, Eg0 = O1
для которого выполнено условие (4.119).
Предположим, что при каждом уравнение
V-V^+J' (4-122>
относительно Yn = [Ynt)t>o имеет решение (существование решения уравнения (4.122) имеет место, если ^t гладкая функция с ограниченной производной).
Установим принцип инвариантности для последовательности У", 1.
При п^4с2 возможна замена переменных и= Ysn+/is в интеграле в правой части (4.122). Эта замена приводит к представлению
ГЇ+nt
F? =-г-=- ^ -Tj2-^u = Znn ,
у n «
где
r/П 1 г _Xu
Zi==yT\ г-2-du-
о 7= S«+i
I n
I Y" I er
Поскольку sup_i_L-< , то слабые пределы у
«г л j п
последовательностей Y", п > 1 и Z", п>1 совпадают. Пусть Xnt =
nt
= —-J Тогда
1 1 л<
о + 1
Последний член в правой части этого представления равномерно стремится к нулю при п—>-оо на любом временном компакте. По эргодической теореме Биркгофа—Хинчина при п-*-оо
nt
JC а2 п J ёи
du-+tElo Р-п. н.
226: Отсюда с учетом аналога теоремы Пона (см. [19], задача 5.4.2) при tl-+Qо Р-п. н.
sup /<г
LJ ildu — tbl
о
'¦aw с а =
I о
О, ТУ 0.
1/2
Наконец, по теораме 4.32 X"-*aW с а = (2 j E (ItI0) dt\
Следовательно,
я?
Ynt^Y,
где Yt = a\Vt~tE^0-
7. Марковские процессы. Пусть (Q, F, F= (Ft) t>0, Р) стохастический базис, на котором задан прогрессивно измеримый однородный марковский процесс ?=(?гЬ>о с фазовым пространством (E, <?). Пусть f = f(x) —(^-измеримая функция такая, что
с
JI/(UldS<00 р-п.н., ^>0.
о
Принцип инвариантности в данном случае будет формулироваться для последовательности Xn = (Xtn)t>o, с
nt
Xni = /(CJ ds. (4.123)
Vn J
Прежде всего приведем необходимые сведения из теории марковских процессов.
Обозначим p = p(t,x,dy) — переходную функцию марковского процесса, q = q(dx)—начальное распределение. С переходной функцией р связан оператор Tt, действующий по формуле
7\A(*)=jj h(y)p(t, X, dy)
E
для любой ^-измеримой функции h = h(u) с \ | /г(у) \p(t, х, dy)X
ExE
Xg(dx)<co. Семейство (Tt)t
>о является полугруппой с опера-
цией TtTs = Tus.
Марковская характеризация процесса % относительно фильтрации F дается следующим образом в терминах подгруппы (Tt)t> q: для всякой (^-измеримой функции h = h\y) с J \h(y)\p(t,x,dy)q(dx)<.oo
Е'хЕ1
E(A(?t)|0".) =Tt-MU Р-п.н., t>s. (4.124)
15* 227 Вероятностная мера r = r(dx) на (Е,&) называется инвариантной, если для любой ограниченной и «^-измеримой функции
J Tfh (х) г (dx) = J А (л) г (dx), t > 0.
E E
Если q(dx) =r(dx), то однородный марковский процесс % является стационарным в узком смысле процессом.
Пусть I2(Е, '<?, г)—гильбертово пространстве функций h = A (у) с нормой Il А |]2=| J h2(y)r(dy)^U'2. Обозначим B0 центр полугруппы (7Д>0:
B0 = {heL2(E, <Г, r):lim|| TiA-AH2 = OJ. /->о
Инфинитезимальным оператором полугруппы (Tt) t>Q относительно L2(E,&,r) называют оператор А с областью определения:
D л = \h?B0:^B0, lim II -g II =Oi1
I 11 1 '|2 J
задаваемый соотношением:
Iim
/-о
Ah_Tjk-k
=0.
2
Обозначим RA={Ah:h?DA} т. е. Ra — множество значений оператора А.
Для функции h&Dа и любого ^>0 имеет место формула Дынкина
t
Tth (X) = A (X) + J Tu Ah (х) du r-п. н. (4.125)
о
8. Предположим, что
q(dx) =r(dx),
В этом случае — стационарный в узком смысле процесс. Предположим также, что — эргодический процесс.
При доказательстве принципа инвариантности без потери общности можно считать, что ? — координатный процесс, и доопределить его при t<Z 0. Обозначим
h=f(%t).
Очевидно, что процесс І=(Іі)<6і' является стационарным в узком смысле и эргодическим процессом. Если
Е|о< оо, Eg0 = O
228: и для процесса g выполнено условие (4.119), то по теореме 4.32 для последовательности Xn, справедлив принцип инвари-
антности:
Xn->aW, где W — винеровский процесс,
а=І2І E (/(У/(Q). і о J
Марковское свойство процесса t позволяет дать достаточное условие для (4.119). А именно, з силу неравенства
Il E (?, j ||2 < [I E (^i ?Г0) |.1а, вытекающего из включения ^gcsrl , и (4.124),
