Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 4.35. Пусть g — случайный процесс, удовлетворяющий условию (4.128). Если функция h = h(x,y) из (4.128) удовлетворяет условию Липшица по х равномерно по у, то для любого Т>О
sup
\h (xs, ts,ie) — k (x,)] ds
¦О,
-О,
(4.133)
где h(x)--=- I h(x, y)p(dy), (Xl)t .о — непрерывная функция.
В'
Замечание. Если в (4.128) имеет место сходимость Р-п.н., то в (4.133) также имеет место сходимость Р-п.н. В частности, если |=(?(Ьз»о — стационарный в узком смысле эргодический процесс, то теорема 4.35 обобщает эргодическую теорему Бирк-гофа—Хинчина.
2. Принцип усреднения в модели массового обслуживания. Пусть имеется один конечный источник заявок объема п и один обслуживающий прибор. Очередь к обслуживающему прибору Qt в момент времени t задается балансовым соотношением
Qt = Qo+At—Du
где Qо —начальная очередь, A=(At)^0, D = (Dt) t>o — считающие процессы с несовпадающими моментами скачков поступления и обслуживания заявок. Относительно фильтрации, порож-
16—7927
233денной процессом очереди А и D имеют компенсаторы
t /
At=(l(n-Qs)ds, Dt=\ I(Qs>0)nf(-^-)ds, о о V п '
где f=f{x)—неотрицательная функция, удовлетворяющая условию Липшица,
Случайная величина Qt принимает п-)-1 значение. Поэтому при больших значениях п анализ данной марковской модели встречает определенные трудности. В связи с этим рассмотрим нормированную очередь qn=(qtn) с
1 ,, п
а"=—- і) ч j чс
и изучим вопрос о предельном поведении <7" при n-f-OO.
Из балансового соотношения для Qt и определения компенсаторов At и Dt имеем
t t
я 1 = ч" + f ь (1 - q")ds — f1 (я'1 > / (<)ds-I- M'U
о о
гДе Mn = (M")t>о —квадратично-интегрируемый мартингал с
уИ? + —(Л,-Л,)---(?><-Д).
п п
и квадратической характеристикой
t
( М») t = L f (1 - -1- / (<7? > 0) / (?*)] ds.
о
Поскольку 0<^< 1, то для любого zf > 0 { М" ) f->0, и-> оо '
р
Отсюда следует, что sup |уИ*|->0, /г-»- оо, V^ > 0. Поэтому воп-
s<t
рос об аппроксимации процессов qп-+ оо детерминированной функцией q = (qt)t>Q решается, если qt строго положительное решение Дифференциального уравнения
qt=X(\-qt)-f(qt), (4.134 }
р
в том смысле, что прй условии ql~*([0 (qu —начальное условие для (4.134))
P
sup \qnt—qt I—>-0, и -»¦ оо , VT > 0.
t<T§ 3. Диффузионная аппроксимация семимартингалов. Принцип усреднения в моделях с диффузией
1. Пусть при каждом п^ 1 Xn(Xin)w—семимартингал со значениями в Rd на стохастическом базисе (Qn1^rn1Fn1Pn) с триплетом предсказуемых характеристик Tn = (Вп, Cn, vn) с функцией урезания
h(x) =xl (|лг|<1).
Из общей теоремы о сходимости последовательности семимартингалов к семимартингалу (теорема (4.24)) можно вывести условие слабой сходимости
Х'1^>Х, (4.135)
где X=(Xi)is:,! — единственное слабое решение стохастического уравнения Ито
t t
Xt = Xg-j- f Ь (s, A") ds + f с (s, X) dWs, (4,136) о о
относительно винеровского процесса W= (Wi)isid с независимыми компонентами, т. е. X — семимартингал с триплетом предсказуемых характеристик T (X) = (B (X), C(X), 0):
t t
Bt(X) = \b(s, X)ds' f c(s, X)c*(s, X) ds,
о б
(* — знак транспонирования).
Будем считать, что X — координатно заданный процесс,
D = Dfl), оо) (Rd), @t=o{X3, s^t},
Q — распределение X — единственное слабое решение уравнения (4.136). Элементы вектора b(t,X) и матрицы с (t, X) предполагаются 3S(R+)®SD — измеримыми и SDt — измеримыми при каждом t. Таким образом, X — семимартингал на стохастическом базисе (D, SD^a, D^, Q), ' гДе 2)% — пополнение SDx, по мере Q, D« =(3)t+\/JV)t>v, S)t* = = П SDtJrt, JV — совокупность множеств из SD^a Q —меры нуль.
є> 0 00
Соответствующий результат о слабой сходимости (4.135) формулируется следующим образом.
Теорема 4.36. Пусть выполнены следующие условия. 1) Если h(t,X) обозначает любой из элементов вектора b(t,X) или матрицы c(t,X), то
Ih(t, X)\<L(\ +sup\X(s)\y (\X(s)\ = %\ X1(S)Aпри каждом i(*S (5 —всюду плотное множество в
h(t, X)-^лепрерыв ia в метрше Скорохода в точке XtC\
2) Хо->Хь;
3) Для любых Ly О, в > 0 и а€(0, 1 ]
і. \
= 0,
А .<? /
(A)Hm Р" \ \ dv">e
" I ,V , •
' О ! .г J > а
(sup ?)lim P7 sup
KL
Xn) ds У в j =0,
о /
(sup С)lim P" SUp
t<L
( Mna >,-<jc(s, X")c* (s, X")ds
і мпа> <=c?-:-\ C xx*dvi-' j
V J JCV*({s}, fiU) ( J xv"({5}, j.
Тогда имеет место слабая сходимость (4.135), где X единственное слабое решение уравнения (4.136).
2. Приведем дв з примерз, в которых используется теорем3 4.36.
Пример 1. Рассмотрим второе приближение в задаче стохастического принципа усреднения Боголюбова. Пусть X' и X определяются дифференциальными уравнениями (4.129) и (4.130).
Определим процесс Y' = (Yte) 0 из условия Xvi = X r'.VVYt.
,.S
Если YC->Y, то гозорят, что в задаче стохастического усреднения Боголюбова существует второе приближение порядка У є .
Факт существования второго приближения устанавливается при дополнительных предположениях на процесс А именно,
C&i) teE — стационарный в узком смысле эргодический процесс, для которого (4.128) выполняется в силу теоремы Биркго-фа—Хинчина. Кроме того, предполагаются выполненными следующие условия: