Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
174: стическая функция P'. Но так как по предположению fn (t)-+ ->/(/), то /'=/ и значит мы получаем следующую характериза-цию предельных точек P':
характеристической функцией распределений P' является функция /.
Но, как уже отмечалось, по характеристической функции распределение определяется однозначно и, следовательно, осуществляется идентификация P' с P и тем самым имеет место требуемая импликация. (Заметим, что обратная импликация очевидна и что в (4.29) нет надобности оговаривать, что / = =f(t) —-характеристическая функция: нужна лишь ее непрерывность в нуле, тогда из приведенных выше рассмотрений автоматически вытекает, что она является характеристической
W
функцией некоторого распределения P и Р"-->-Р.)
Итак, в методе характеристических функций все промежуточные этапы I, II, III проверены и наглядно все это можно изобразить следующим образом:
T-T
Плотность
©
Характеризация P1
®
Идентификация
-Pn
Из оценки
\
иp.-F1 меры P1 coanadaem с f
t
По x.tp. однозначно 8оссгпана8ли8ается распределение
6. Метод характеристических функций оказался очень мощным при доказательстве предельных теорем теории вероятностей для сумм независимых слагаемых. Применительно к центральной предельной теореме (ц.п. т.) этот метод привел А. М. Ляпунова (1901 г.) и Линдеберга (1922 г.) к следующим условиям справедливости ц. п. т.
Теорема 4.1. Пусть Sn = Em+•••+Enn, где при каждом
Enb • • • > Enn
п
EEni-O, д = УEEL=I-
—независимые случайные величины, Тогда
л
(Л) XeR,
(условие Ляпунова)
п
(L)
k=l
Ink Р>
Ink
A=1
> є] O^p (Sn < х)^ Q(JC)1 xeR.
(условие Линденберга)
Ясно, что (Л) =>¦ (L). Уместно сейчас также отметить, что из условия Линдеберга вытекает, что рассматриваемые случайные
175: величины ..., Inn асимптотически пренебрегае-M ы в том смысле, что
тахР(|Ел*|>е)->0, оо, (4.31)
k<n
и даже более того
шах Dlnk->0, п-> оо. (4.32)
Однако, самые простые примеры показывают, что д. п. т. может иметь место и без выполнения условия Линдеберга или даже, скажем, выполнения условия (4.32). Например, если
с- U
iTink --г - J
1/ І Oii
' і = 1
где Ei, Ег, • • • — последовательность независимых нормально распределенных случайных величин с EEil = O, D\i = l, 0?? = =2к~2, то очевидно P (Sn^x) =Ф (х), однако, условие
(4.32) здесь не выполнено:
nf 1
max D Es = —.
k<n 2
В этой связи упомянем результат В. М. Золотарева, который дал необходимое и достаточное условие справедливости центральной предельной теоремы для сумм независимых случайных величин без предположения асимптотической пренебрегаемости. В модифицированной форме, предложенной В. И. Ротарем [21], результат В. М. Золотарева [13] выглядит так.
Пусть En1, . ••, Ели-независимые случайные величины с Eg„A =
п
= 0, EEL = aL^ 00 ' ^aL = 1' Fnk (Jc)=P (g„*< Jc). Тогда .ус-
A = I
лов не
(Л)
2 JI
?=1 \xt>R
х
Fnk(X)-O
dx->0, є > 0,
является необходимым и достаточным для справедливости центральной предельной теоремы.
Отметим также следующее обстоятельство. Еще в 1926 г. в курсе по предельным теоремам А. Я. Хинчин задался вопросом о том, имеется ли связь между законом больших чисел и центральной предельной теоремой. Ответ, найденный в 1938 году Д. А. Райковым и А. А. Бобровым, гласит, в частности, следующее.
176: Пусть ..., g„„ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин,
tl
EU = O, =
«!=1
удовлетворяющих условию асимптотической малости (4.31). Тогда для того, чтобы P (Sn^x)->-Ф (х), х?Е\ необходимо и достаточно, чтобы было выполнено (по терминологии Хинчина) условие относительной устойчивости
" P
2?^1- (4.33)
Оказывается, и это станет ясно в дальнейшем, в аналогичном виде можно формулировать условия справедливости центральной предельной теоремы не только в случае независимых слагаемых. Ниже будет разъяснен и вероятностный смысл суммы квадратов, входящих в (4.33).
6. Методом характеристических функций были найдены условия сходимости во многих предельных теоремах. Для конкретности, а также и в связи с последующим изложением приведем ряд формулировок предельных теорем в случае сходимости к так называемым безгранично делимым распределениям.
Напомним, что случайная величина | называется безгранич-ноделимой, если при любом п>1 она может быть представлена в виде
d
В = • • • +Snn,
где |„], ..., Iпп — независимые одинаково распределенные слу-
d
чайные величины, а равенство « = » понимается в смысле совпадения их распределений. В терминах характеристических функций условие безграничной делимости g означает, что ее характеристическая функция f(X) может быть при любом гС^ 1 представлена в виде
f(V=[fnm, (4.34)
где /п(Я) —некоторая характеристическая функция.
Сначала А. Н. Колмогоров (1933 г.) для случая величин с конечной дисперсией, а затем Леви ([41]) и А. Я. Хинчин ([24]) в общем случае установили, что характеристическая функция f(X) безгранично-делимой случайной величины допускает представление в виде
