Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
140: Определение 1. Говорят, что локальный мартингал M1 заданный на (Й, F, F, Р), имеет (по отношению к семимартин-галу X) интегральное представление, если M может быть представлен в виде
M = M0+HoX<+W*{yL-v), (3.21)
где H=(Hi)iszd принадлежит L2oc (Xе) и WeGioc(ц,).
Следующие два примера являются классическими примерами, когда представление оказывается возможным с Ft=CiF0s, где
s>t
Fl = a {Xr, г Cs}.
Пример 1. Пусть X — винеровский процесс на (Q, F, F=(Fi)t^o, P)- Тогда каждый локальный мартингал M допускает представление
М = Мо+НоХ (3.22)
с функцией H^L2oc(X) и, следовательно, явлйется непрерывным
Пример 2. Пусть X = (Xt)t>o — пуассотовский процесс на (Q, F, F = (J?f)t>o, Р). Тогда каждый локальный мартингал M допускает представление в 'виде (3.21).
2. Вопрос о возможности интегрального представления локальных мартингалов относительно семимартингала X, заданного на стохастическом базисе (Q, F, F, Р), тесно связан с семимартингальной проблемой. Основной результат в этом направлении, в общих чертах, может быть сформулирован таким образом: представление (3.21) имеет место тогда и только тогда, когда мера P является экстремальной точкой в выпуклом множестве S= (Fo, XI Рн; В, С, v) (Подробнее см. § 4 гл. III в [40] и § 8 в гл. 4, [20]).
§ 7. Устойчивость класса семимартингалов относительно ряда преобразований
1. В § 1 отмечалось, что класс семимартингалов устойчив относительно ряда преобразований, в частности, относительно абсолютно непрерывной замены меры, редукции фильтрации, случайной замены времени. Рассмотрим этот круг вопросов более подробно.
Пусть X = (Xi)i^d-rf-мерный семимартингал, заданный на стохастическом базисе $ = (0,, F,F = (Ft)t>o,V), с триплетом T =(В, С, v). Рассмотрим новый стохастический базис 0 = (Q, F, F = (Ft)1>0, Р), где Р —некоторая (новая) вероятностная мера такая, что Р<Р, т- е. Р —абсолютно непрерывна относительно Р.
Теорема 3.21. Процесс X = (Xi)t^, рассматриваемый на стохастическом базисе $ = (0., F, F, Р) также является семи-
141: мартингалом с триплетом T = (В, С, v), где
Bi = Bi + (2 с1>&\а + hl(X)(Г- 1 )*V,
C = C,
V = Vv,
где У— некоторая ^-измеримая неотрицательная функция, ? = = (?^) — предсказуемый процесс, а с" и предсказуемый возрастающий процесс А таковы, что Cii = CiioA.
2. Пусть X —семимартингал на стохастическом базисе S8 = (u, ЗГ, F = (STt) t>0, Р), П o{Xs, 0<s<t + s)\/J", где
Е>0
JV- система множеств ИЗ<Г, имеющих Р-Меру нуль, И &=($t)t>0 — неубывающий поток а-алгебр, удовлетворяющих обычным условиям и такой, чтб
РЇтС&ідРі, t> 0. Теорема 3.22. Процесс X, рассматриваемый на (редуцированном) стохастическом базисе B= (Q, = C&t) t3,o, Р) также является семимартингалом.
3. Пусть снова X — семимартингал на стохастическом базисе
?S= (Я, SF, F=(STt) is>0, Р).
Определение. Случайный процесс x=(xt)t>Q, принадлежащий классу T+ и такой, что Tt- момент остановки для каждого t>0, называется случайной заменой времени. Образуем новый процесс
Xl{a) = Xitm (со), t>О
и новый поток F = ^b0 с SFt = SF .
Теорема 3.23. Процесс X, рассматриваемой на стохастическом базисе at = (Q, SF, F, Р) таь»:е у.влгстся cttoi марті кга/см.
III. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ И СИНГУЛЯРНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
§ 1. Локальная плотность. Разложение Лебега
1. Пусть (?, Sr, F, Q) —стохастический базис,
=J-(P4-P),
где P' и P — вероятностные меры на (й, ^F). При таком определении Q меры P' и P являются абсолютно непрерывными от-
142: носительно Q(P/<CQ, P<CQ). Пусть i'=(fa')t>o— опциональная проекция dP'ldQ. относительно (F, Q), которую можно выбрать таким образом, чтобы траектории ь' были непрерывны справа и имели пределы слева. Выбранный таким образом процесс j' является неотрицательным равномерно интегрируемым мартингалом относительно (F, Q) и называется локальной плотностью меры P' относительно Q. При этом J0O= Iim а/ совпадает
Q-n. н. с dP'/dQ. Аналогичным образом определяется процесс 3=(?;) оо, являющейся локальной плотностью меры P относительно Q с goo=rfP/dQ (Q-n. н.). Для любого teR+
Q(a/ = 0, 8, = 0)=0, (3.23)
т. е. процессы j' и з одновременно в нуль не обращаются.
Если т—марковский момент (предсказуемый марковский момент), то Р/ и РТ(РТ_' и Рт_)—сужения P' и P на 5Гх(?Гг-)-2. Следующее разложение меры P' относительно P называется разложением Лебега: для любого множества AtSTx (т — марковский момент)
Р'(Л)=|(а;/8тМР+Р'(А jT=0). (3.24)
А
Если т— предсказуемый марковский ,момент и то
P'(i4)=j(st_/at-)dP + P'(A 3.- = 0). (3.25)
А
Величина ь%1ь% (соответственно _/з-г_ в предсказуемом случае) называете^ производной абсолютно непрерывной части Р'С(РТ_) — относительно Pt(PtL).
Определение 1. Будем говорить, что мера P' локально
Ioc
абсолютно непрерывна относительно P (и писать Р'<СР), если для каждого t?R+ Р/<СР<.
I ОС
В случае Р'<СР свойство (3.23) процессов 8' и j позволяет определить процесс Z=(Zt)tss0 с
Zt=$i Iit,
где Zt = dPt'/dPt. Так определенный процесс, называемый процессом локальной плотности меры P' относительно Р, является неотрицательным локальным мартингалом относительно (F, Р) и обладает следующим свойством: для любого марковского момента т (предсказуемого марковского момента т) /(т< oo)ZT = /(t< ™)dP'xldPx,
