Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Iim E sup
«-»я f<T
:0. (2.1)
П 1
У У (*)-У< UJ В (S) Vd (Vx(S))
і — 1 О
Два процесса, обладающие этим свойством, совпадают при всех Z сразу (п.н.). Поэтому корректна запись
t
у (Z)= j B(s) dx (s) (2.2)
о
и справедливо представление
t
(у) t=\\B(s)fQx{s)d(x) s, (2.3)
о
что вместе с неравенством (напомним, что
tr Qx= 1) дает возможность обычным образом распространить интеграл (2.2) с сохранением свойства (2.3) на все вполне измеримые функции B(s), для которых при всех Z^O
і
]\\B(s)fd{x)s<™ п.н. о
Так определенный стохастический интеграл непрерывен по t и является локальным мартингалом. В следующей теореме понятие стохастического интеграла распространяется на еще более широкий класс процессов B(s).
Теорема 2.6. Пусть при каждых (s, со) определен оператор
B(S) = B (s, (H)^S1 Qx(s,a>) (Ef, Е) такой, что процесс ?(s)Q*/2(s) вполне измерим (в S?2(H, E)) и при 'каждом Z правая часть (2.3)
?4 конечна п. н. Тогда последовательность /
MO=jjв (S) (4-+Q-2 (5))"1 dx (*)
о
сходится равномерно по (7>0) по вероятности к пределу
(скажем, г/(/)). Кроме того, г/(•) 6^ Joc ?), и справедливо представление (2.3).
Замечание. Приведенная конструкция следует работе Н. В. Крылова и Б. Л. Розовского [8]. Несколько иная конструкция дана Парду [15].
Процесс y(t), построенный в теореме 2.6, по определению принимается равным правой части (2.2). Если X — сепара-бельное гильбертово пространство и A^S(E1X), то при всех 0 сразу (п. н.)
t
Ay (О = J AB (5) dx (s). (2.4)
о
Пусть eGE. Определим оператор eGS (Е, R1) по формуле еу = еу (скалярное произведение в Е). Тогда в силу (2.4) имеем
t
еу (Zf) = J eB(s)dx(s).
о
Если h(s)QH, h(-) вполне измерим, и при любом г">0 t t
J I A(s) I l({s)d < j: > , = f I QT(s)h(s)U {x)s<*> (п. н.),
О O
то имеем
t t
lh(s)dx(s): = lh(s)dx(s).
о о
3. Введем теперь понятие винеровского процесса в Я. Определение 9. Пусть Q — ядерный, симметричный, неотрицательный оператор на Я, и trQ<oo. Винеровским процессом (относительно (SFt)) в Я с ковариационным оператором Q называется такой непрерывный мартингал w(t) со значениями в Я и корреляционным оператором (trQ)"1 Q, что W(O)=O, <№>( = tr Q-t.
Для любого ядерного, симметричного, неотрицательного Q с tr Q>0 на некотором вероятностном пространстве можно построить отвечающий ему винеровский процесс. Для него MW2(t) =tr Q-t. Стохастический интеграл по винеровскому процессу можно определить не только для вполне измеримых
B(s), но и для измеримых по (s, ш) и (&~s) -согласованных
t
B(S) с \ |?(s) |Q2ds<oo п. н. (f>0).
о
85: § 3. Формула Ито для квадрата нормы
1. Пусть У—банахово пространство, У*— сопряженное к нему, пространство, Я — гильбертово пространство (все пространства— действительные). Если v&V {hGH, и*бУ*), то через (|Л|, |у*|) будем обозначать норму v (соответственно, h, и*) в У (в Я, в У*); если hu \і2Ш, то HlIi2 означает скалярное произведение h\ и Л2, и результат действия у* б У* на VtV обозначаем через v*v = vv*. Пусть А : У->~Я— линейный ограниченный оператор, причем АУ всюду плотно в Я.
, Пусть v(t, со)бУ, h{t,(o)GH, v*(t,a)zV*, 0, — три процесса, заданные на некотором полном вероятностном пространстве (?2, Sr, Р) с некоторым расширяющимся потоком а-алгебр (SFt), SF t<=SF, i^O. Пусть v(t, со) сильно измерим (по Лебегу) по (t, ш), слабо измерим по ш относительно ?Tt при почти всех t, при любом об У величина vv*(t,ia) Srt— измерима по со для почти всех t и измерима относительно (t, со). Предполагается, что h(t, со) сильно непрерывен по t, сильно измерим относительно SFt при всяком t и является локальным семимартингалом, т. е. в Я существуют такие непрерывные по і, сильно ^-измеримые процессы A(t), m(t), что m(t) —локальный мартингал, траектории процесса A(t) (при каждом со) имеют конечную вариацию на любом конечном интервале, и h(t) = A (t) -j-m (і).
Зафиксируем pG( 1, оо), и обозначим q = p/(p— 1). Предполагаем, что j и (V) 16?j>[0, T] (п. н.) при всяком T^О и существует такая измеримая по (t, со) функция f(t, со), что f(t)GLq[0, Т] (п.н.) при всяком T^О, I и* (t) I^f (t) при всех со) (заметим, что функция |и*(/)|, вообще говоря, неизмерима).
2. Следующий результат («формула Ито для квадрата нормы») является основным в данном параграфе.
Теорема 2.7. Пусть т-—марковский момент и при всяком ибУ почти всюду на {t, со) \ t<.т(ю)} имеет место равенство
t
AvAv (t)= \ vv* (s)ds + Avh(t). (2.5)
6
Тогда существует множество Q'sQ и функция h(t) со значениями в Я такие, что:
a) P(Q') = 1, h(t) сильно^ ^-измерима на множестве {со : ^<т((о)} при всяком t, h(t) непрерывна по t на [0, т(со)) при всяком ©, Av(t) =h(t) (п. в. {(^,со) :/<т(©)});
б) при u)6Q', ^Ст(со)
t t
A2(0=a2(°) + 2 f v(s)v*(s)ds + 2 ]h(s)dh (s) + ( m > 0 0
86: в) если V сепарабельно, то при соб?У, Z<t(co), v&V
t
A^A(Z) = J vv* (s)ds + Avh (Z); о
г) если V сепарабельно и (2.5) выполнено для некоторого O=O при всяком vGV (п.н.) на {со : Z<t(co)}, то Au(Z)=Zi(Z) (п. н.) на {со : Z<t(cd)}.
