Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Относительно уравнения (5.8), свойств его решений и других подходов к определению диффузионных процессов с граничными условиями, в том числе и проходящих сквозь границу, мы отсылаем читателя к работам И. И. Гихмана, А. В. Скорохода [11], М. И. Фрейдлина [21], Ватанабэ, Икэды [4], Н. В. Крылова [15], И. Л. Гениса, Н. В. Крылова [7], С. В. Ануловой [1], Лионса, Шнитмана [27], Танаки [29], М. Б. Малютова [17], Н. И. Портенко [20].
3. Как и «обычные» уравнения Ито, уравнения с граничными условиями связаны с теорией дифференциальных уравнений в частных производных. Установить эту связь можно, например, с помощью формулы Ито (теорема 3.2), в которой необходимо рассматривать стохастические дифференциалы уже более общего вида, чем (3.7). Например, для случая процессов типа (5.8) формула Ито имеет тот же вид, что и в теореме 3.2, со следующим дополнением в таблицу умножения дифференциалов
(t/Ф,)2 = dtdqt = dW\d^t = 0.
Аналогично (3.15) при некоторых условиях доказывается, что если и — решение уравнения (3.14) с граничным условием (их, l)=g на дЗ), It — решение уравнения (5.8) с начальным данным lt=x, то
f*o as)as °° \ caas)ds
и(х)=Е J /0(Ые° dt-<r\g(lt)e* , (5.9)
-0 о
где (fo, c0) = (f, с)І(хЄЗ)). Формула (5.9), как и (3.15), важна как для теории вероятностей, так и для теории дифференциальных уравнений. Например, с ее помощью в работе М. Б. Малютова [17] выяснен совершенно прозрачный вероятностный смысл несколько загадочных с аналитической точки зрения условий разрешимости задачи Пуанкаре о наклонной производной.
ЛИТЕРАТУРА
1. Анулова С. В. О процессах с производящим оператором Леви в полупространстве // Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1978,— 41, № 4.— С. 708— 750.
- 2. Бернштейн С. Н. Принципы теории стохастических дифференциальных уравнений // Тр. физ.-мат. ин-т им. Стеклова:— 1934.— 5.— С. 95—124.
40 3. — Теория вероятностей. 4-ое изд.— М.— Л.: ОГИЗ, Гос. изд. технико-теоретич. лит., 1946.— 556 с.
4. Ватанабэ С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы.— M.: Наука, 1986.— 445 с.
5. Вентцель А. Д. О граничных условиях для многомерных диффузионных процессов // Теория вероятностей и ее применения.— 1959.— 4, № 2.— С. 172—185.
6. Веретенников А. Ю. О сильных решениях и явных формулах для решений стохастических интегральных уравнений // Мат. сб.— 1980.— 111 (153), № з._ с. 434—452.
7. Генис И. Jl., Крылов Н. В. О точных барьерах в задаче о косой производной // Сиб. мат. ж — 1973,— 14, № 1 — С. 36—43.
8. Гирсанов И. В. О преобразовании одного класса случайных процессов с помощью абсолютно непрерывной замены меры // Теория вероятностей и ее применения— I960,— 5, Ns 3.— С. 314—330.
9. Гихман И. И. К теории дифференциальных уравнений случайных процессов. Ч. 1 // Укр. мат. ж,— 1950,— 2, № 4,— С. 37—63.
10. — К теории дифференциальных уравнений случайных процессов. Ч. II // Укр. мат. ж,— 1951,— 3, № 3,— С. 317—339.
11. —, Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения.— Киев: Наукова Думка, 1982.— 611 с.
12. Звонкин А. К. Преобразование фазового пространства диффузионного процесса, уничтожающее снос // Мат. сб.— 1974.— 93 (135), № 1.— С. 129—149.
13. Ито К, Маккия Г. Диффузионные процессы и их траектории.— M.: Изд-во И. Л., 1968,— 395 с.
14. Колмогоров А. Н. Об аналитических методах в теории вероятностей // Успехи мат. наук.— 1938.— 5,— С. 5—41 (перевод с немецкого яз. статьи 1931 г.)
15. Крылов H В. Диффузия на плоскости с отражением. Краевая задача // Сиб. мат. ж.— 1969.— 10, № 2,— С. 355—372.
16. Jleeu П. Стохастические процессы и броуновское движение.— M.: Наука, 1972.— 375 с. (перевод второго французского издания, 1965 г.)
17. Малютов М. Б. О краевой задаче Пуанкаре // Тр. Моск. мат. об-ва,— 1969,— 20,— С. 173—204.
18. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.— M.: Наука, 1969.— 480 с.
19. Новиков А. А. Об одном тождестве для стохастических интегралов Ц Теория вероятн. и ее применения.— 1972.— 17, № 4.— С. 761—765.
20. Портенко Н. И. Обобщенные диффузионные процессы.— Киев: Наукова Думка, 1982,— 208 с.
21. Фрейдлин М. И. Диффузионные процессы с отражением и задача с косой производной на многообразии с краем // Теория вероятностей и ее применения,— 1963.— 8, № 1,— С. 80—88.
22. Bernslein S. N. Equations differentielles stochastiques // Actual. Sei. Ind.— 1938,— 738.— С. 5—31.
23. Ito K- Stochastic integral 11 Proc. Imperial Acad. Tokyo — 1944.— C. 519—524.
24. — On a stochastic integral equation // Proc. Japan Acad.— 1946.— 22.— C. 32—35.
25. — On stochastic differential equations // Mem. Amer. Math. Soc.— 1951.— 4.- C. 1—89.
26. Kazamaki N. The equivalence of two conditions on weighted norm inequalities for martingales // Proc. Int. Symp. Stochast. Different. Equat. Kyoto.— 1976,— Tokyo: Kinokuniya.— 1978,— C. 141 — 152.
27. Lions P. L., Sznitman A. S. Stochastic differential equations with reflected boundary conditions // Commun. Pure and Appl. Math.— 1984.— 37,— C. 511—537.
