Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
5. Естественно теперь перейти к функциональному случаю. Поскольку имеются уже условия для сходимости конечномерных распределений, то самый простой путь состоял бы в том, чтобы выяснить, а не обеспечивают ли условия (?), (f), (б) или их усиления относительную компактность (плотность) семейства распределений процессов Xй, rC^ 1. Оказывается достаточно лишь усилить условие (?):
Теорема 4.15. Пусть л — процесс с независимыми приращениями без фиксированных моментов разрыва. Тогда, если 5 — всюду плотное множество в R+, то условие
(sup ?) sup \Bns — I ->0, teS, (4.81)
s<t
и условия (f), (б) обеспечивают плотность семейства распределений процессов Xті, Yi^ 1, и функциональную сходимость S
X^--
Сейчас целесообразно посмотреть, что дает эта теорема для треугольной схемы серий
Xnt= У ll 0<t<\. (4.82)
Во-первых, отметим, что в этом случае
k<[nt\ Я'
S(Gn(X))t = П Efeifc6V^1].
ft<[n<]
Далее,
?7=2 EfA(SZ)I^-,],
Cnt= 0,
k<[nt\
Тогда, если ц=ц(а, b, F)—безгранично делимое распределение с параметрами (b,C,F) и если выполнены условия
sup P (I It I > е I -^0, (4.80')
k<n
199: (Y') 2 iE Ifl2 (і?) I - (E [Л [ll) j ^-,])2-* C =C +
+ J H2(X)F (dx),
(&') 2 E[g(gZ)| (g), geCj,
то І?(2 p.
Если же X — процесс с независимыми приращениями без фиксированных моментов скачков и триплетом Т=(В, С, v), то для
s
функциональной сходимости Xn -+X Достаточно, чтобы
ft< [ял']
(sup?') sup
s<t
(Ґ) 2 {Е {h2{ll)\^x\ - (Е (/г ^L1]Pi-^C5, s<l,
b<\nt\
Ю 2 s<\, gee,.
k<[nt ]
6. Приведем ряд других условий (также выраженных в пред*
S(S) S
сказуемых терминах) Для сходимостей X"-->Х и Х"-+Х.
Во-первых, если gt (X)^=O, то как уже мы знаем из теоремы 4.13 условие
3?(S)
S (G" (X)t) -> g (X)t, teS, XeE1^X"-->Х.
Естественен поэтому вопрос: как усилить здесь сходимость стохастических экспонент, чтобы иметь функциональную сходимость?
Теорема 4.16. Пусть процесс X с независимыми приращениями не имеет фиксированных моментов скачков (gt(X)ф ФО). Тогда, если
sup sup J g(G« (X)), -g (X)J І0, t>0, e>0, (4-.83)
|Л|<0 s<t
Sl
TO Xn-+X.
Во-вторых, МОМШО пойти и дальше, а именно попытаться Дать-S(S) S
условия сходимостей Xn-->Х и Хп-+Х в терминах сходимости
соответствующих кумулянт Gn(X) к G(X). Общий результат здесь не известен, но если не только X, но и Xn квазинепрерывны слева (т. е. если т*|т, то Xvk-)- Xx п. н.), то
р S(R+) Gn(X)t^G(X)t, teR+, XeE1^Xn-->Х. (4.84)
200: условие (4.84) совместно с условием (sup?) влекут функциональ-S
ную сходимость Xn-+X. Если также
SupIGn(A)i-G(A)iOO, Ag;?1, et^1, (4.85)
s<l Л<0
S
то Xn^X.
Выше приведенные результаты конкретизируются (помимо уже рассмотренного случая «дискретного времени» (4.82)) во многих полезных и интересных случаях, среди которых отметим следующее:
I. Центральная предельная теорема (X — непрерывный га-уссовский процесс с независимыми приращениями и триплетом (В, С, О)).
II. Центральная предельная теорема, когда Xn — локальные мартингалы, и X—непрерывный гауссовский процесс с независимыми приращениями и триплетом (О, С, 0).
Тогда, если, скажем то
S р
X" > Ci,
Vdo, *]x{U|>e})Xo, 8>о,
где [А\ Xn] и <ХпУ — квадрэтические вариации и характеристика Xn.
Этот результат остается в силе, если выполнено условие IirnTIm P (I x\I (\х I ><z)*v^> iq )=0, л>0, *>0, (4.86)
a t оо п
для выполнения которого достаточно, например, чтобы «семейство {sup|AX?|} было равномерно интегрируемо для всех t > О».
s<t
Эти результаты Делают понятным смысл условия относительной устойчивости как сходимости квадратической вариации [Xn, Хп\х =
= 2 ^ni-yC 1=1-
В этой связи полезно отметить, что все вышеприведенные
S S1(S)
теоремы о сходимости Хп->Х, Xn—-X в качестве достаточных
P
(а часто, и необходимых) условий содержат условия типа Tn-^T, р
где сходимость «->:> понимается как сходимость по вероятности соответствующих компонент триплетов, т. е. как выполнимость для них соответствующих эргодических теорем. Можно сказать поэтому, что наши теоремы носят характер редукции слабой сходимости к выполнимости законов больших чисел для компо-
201: нент триплетов, что отвечает духу вопроса А. Я. Хинчина о том, какова связь между центральной предельной теоремой и законом больших чисел.
III. Сходимость точечных процессов Xn с компенсаторами An, rC^ 1 к пуассоновскому процессу с непрерывным детерминированным компенсатором А:
р 2^) A"-*At, t?S^Xn----
AI^At ttR+^Xn->X.
IV. Сходимость нормированных сумм одинаково распределенных локальных мартингалов Yh= (Yth)tSs0, k^l. Пусть У — непрерывный гауссовский локальный мартингал с (непрерывной) функцией С; = ЕУг2, О, C0 = O. Если
-Г ,= -^-2 Г*, I п —
3?
то Xn^-X, где X—винеровский процесс с характе ристиками (0, С,0)
V. Предельные теоремы для марковских процессов. Пусть, (fi, SF, Srt 6ь Yt, P1) — марковский процесс с непрерывными справа траекториями и со значениями в некотором топологическом пространстве Е. При этом пусть существует вероятностная мера р и о-алгебра инвариантных по отношению к полугруппе
