Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Классический пример суммы = — независи-
мых интегрируемых случайных величин с нулевыми средними, рассматриваемой в её эволюции, rC^l, S0=O, является типичным примером мартингала, поскольку
E(Sn|?b • . • , ?n-i) ~E(S„_i-l-gn|!b . . ., Sn-i) =
=iSn_i-j-E.(I Ii, . . . , bn-i) =5„_i+E|n=5n_i,
т. е. если &~n=o{lu • • •, — совокупность событий, порожденных величинами gi,..., g„, то
1) Sn-Fn — измеримы
2) E(SnISV1)=Sn-,,
что закладывается собственно в определение мартингала.
С формальной точки зрения удобно определение мартингала давать так. Пусть (?, Sr, Р) — некоторое вероятностное пространство и F=(ff~n)n>i — неубывающее семейство ст-алгебр таких, что SFOSSrI S^r2S . . . ^SF. (Множества из трактуются как
события, наблюдаемые до момента п (включительно)). Случайная последовательность или процесс с дискретным временем, Х=(Хп)п>0 называется мартингалом, если Е|Лп|<С°°, п> 0,
1) Xn—^„-измеримы, (4.1)
2) E(JfnI^V1)=Xn-,, п>1. (4.2)
Свойство 2) определило само название «мартингал» — словом, обозначающим в казино систему игры, при которой ставка удваивается при проигрыше. Именно, пусть г]Ь Ti2,...— независимые случайные величины, такие, что Р(т],= 1)=р, P(T)i = —1)=9- Здесь р трактуется как вероятность выигрыша игроком в І-ой партии, q— проигрыша. Если Vi = — Vi (г)ь . . . , ті,__і)—ставка в І-ой партии, основанная естественно на данных, предшествующих партий, то суммарный выигрыш за п партий будет
п
( = Xn_x+Vny\n).
1=1
Игра справедлива, если E (Xn | rit, . . . , Tin-!) =Xn^u что будет, когда р = q =1/2, поскольку тогда Е( V„t]„[t]i ..., т]п-і) == = VnETin = Vn (р—q) =0.
Если p~>q, то игра становится выгодной для игрока, поскольку
Е(Хп|т]ь ..., Tln-O^^n-l-
Это свойство последовательности X=(Xn) называют субмар-тингальностью; если же
E (X11 ] T]i, . . . , Tln-I то говорят, что X— супермартингал.
Таким образом, если процесс X есть мартингал, то EXn = = EXo = Const; субмартингал, то EXn^sEAVl; супермартингал, то EXn^EAV1.
Рассмотрим специальный класс «стратегий» V=(Vn)n^i с Vl = I и
І2"~\ если Til = -I, .. ., т)л_, = —1, " {О, в остальных случаях, смысл которых сводится к тому, что игрок, начиная со ставки Vi = I, каждый раз увеличивает ставку вдвое при проигрыше и прекращает игру при выигрыше.
Если Tji= — 1, ..., г)„ = — 1, то суммарные потери за п партий составят
п
У 2м = 2"-1.
Jm^
160: Поэтому, если К тому же Т]„+1 = 1, то
Xn+i =An+VI1+1 = — (2П—1) +2™ = 1.
Значит, если T = inf{n>l : An = 1}, то Р(т = м) = ( j)n, Р(т<
<оо) = 1, P(Xx = I) = I и EAx=I, хотя при каждом гС^0 EAn = = EA0 = O. Тем самым даже при справедливой игре можно увеличить свой капитал, если придерживаться описанной системы игры удвоения ставки, называемой мартингалом. (Заметим, что эта игра требует неограниченного начального капитала и возможность неограниченных ставок, что, понятно, физически нереализуемо.)
2. Конечно, данный пример не объясняет почему мартингалы играют в предельных теоремах теории вероятностей важную роль. Наша цель как раз и состоит в том, чтобы показать, как мартингальные методы «работают» в предельных теоремах.
Сразу заметим, что когда говорят о мартингальных методах, то имеют в виду не столько технику оперирования с мартингалами, сколько стохастическое исчисление, доставляющее мощный метод потраекторного изучения случайных процессов. Стохастическое исчисление, в частности, стохастическое дифференциальное исчисление К. Ито, ставшее одним из основных методов конструирования сложных процессов из простых, играет важную роль в теории оптимального стохастического управления, нелинейного анализа случайных процессов. Стохастическое исчисление дало также и мощный метод для доказательства предельных теорем, особенно, в случае зависимых наблюдений, где традиционные методы, такие как например, метод характеристических функций не работают.
Имея в виду изложение результатов под рубрикой «Мартингалы и предельные теоремы для случайных процессов» мы ставим перед собой цель не только просто приведение соответствующих результатов и изложение технической стороны дела. Наша цель будет состоять также, и не в последнюю очередь, и в том, чтобы хотя и в крайней форме, но проследить основные вехи в становлении и развитии теории предельных теорем, проследить преемственность методов, проследить за эволюцией методов, обсудить слабые и сильные стороны разных методов и границы их применимости.
§ 2. Разные типы сходимостей. Топология Скорохода
1. Все рассматриваемые далее случайные процессы A = = (At)tsio, A"= (A(")<s»o, ti^l, будут случайными процессами с временным индексом t?R+ и принимающими (для простоты изложения) значения на действительной прямой E1 (более общим образом — значения в Ed, оо). Наша задача — дать
11—7927
161 условия «сходимости» процессов Xn к X, где сходимость будет пониматься в подходящем смысле.
Напомним, что для случайных величин следую-
щие три вида сходимости являются в теории вероятностей основными:
сходимость по вероятности
