Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Для описания конструкции Ито понадобится понятие винеровского процесса относительно потока сг-алгебр. Пусть для всякого t^0 определена ст-алгебра STt подмножеств Q, причем
22 ^t(=^-, Tt^STs при ^s. Тогда говорят, что имеется (расширяющийся) поток ст-алгебр {@~t}. Винеровский процесс Wt (со) на (Й, ST, Р) называется винеровским относительно потока {STt}, если величина Wt &~t— измерима при всяком t^O и Ws—Wt не зависит от Srt при всяких ^s. В этом случае также говорят, что (Wt, Srt) — винеровский процесс. Надо сказать, что всегда существует поток {&~t}, относительно которого процесс Wt является винеровским. Из теоремы 1.2 следует, что можно взять, например, (Ws, s^t).
Действительный случайный процесс ft(со), t^s0, собй, назовем простым, если существует разбиение 0 = ... полуоси [0, оо) такое, что ft = fti при ^JYb /j+1, t = О, 1, . . . , кроме того, если ft &~t — измеримо при всяком t и если
со
E Jl ft\2dt < OO . (3.4)
о
Множество всех простых процессов обозначим через #0.
Для простого процесса ft положим
OO OO
IftdWi = Jftl(Wt^-Wti).
о і =O
Ито берет за основу построения стохастического интеграла это выражение, аналогичное (3.1), а не формулу интегрирования по частям (3.3). С помощью элементарных и коротких вычислений показывается, что при t?H0
/оо \ 2 OO
е( UtdWtj = Ejl ft? dt.
Это, очевидно, позволяет распространить стохастический интеграл на функции f, для которых найдется последовательность /П6Я0 такая, что
OO
о
J-іначе говоря, интегрируемы по Ито оказываются функции /6#0=:#, где замыкание понимается в смысле гильбертова пространства L2(QX(0, °°))¦ Ито доказал, что множество H совпадает с множеством функций ft &~t — измеримых при каждом t, измеримых по (со, t) и таких, что справедливо неравенство (3.4) (точнее говоря, последнее множество как множество в L2(QX(0, оо)) совпадает с Я).
23 Далее, интеграл в конечных пределах от s до t при определяется по формуле
t оо
\ frdWr = \frI{S<r<t)dWr.
S 6
Интеграл в конечных пределах Ито распространил на класс функций более широкий, чем Я. Обозначим через S множество всех действительных измеримых по (и, t), STt — измеримых при каждом t функций /<=/<(©) таких, что
T
J <00 (п.н.)
О
для любого постоянного Т>0. С помощью элементарных сведений из теории мартингалов Ито доказал, что при /6S процесс
t
f ZsdWs (3.5)
о
имеет непрерывную по t модификацию. В дальнейшем под интегралом (3.5) всегда понимается непрерывный процесс. Основу распространения стохастического интеграла Ито с класса H на S составляет следующая теорема о предельном переходе под знаком стохастического интеграла.
Теорема 3.1. Пусть }0, /і, /2,. . . GS, О^Т^оо. Утверждается, что
t t
sup
t<T
о
тогда и только тогда, когда
т
J f0sdWs-lfnsdWs
-О,
\\fos-fn, I2 0. о
і
С помощью этой теоремы найдем [ WsdWs. Имеем
o
t ' п-1
2 j W sdW s =P- Hm 2 J 2 W А.1 It-}Г <s <t Чг)
0 n^co O і=O ' n
n-1
= Р,-1іш 22W A_(w /+I-Wr jl) =
и-®!= O ' n ' n ' П
Xl-1
= P-Iim У [И72 /+1 -W2 , = П.Н.),
1 . „ t —--t t І
Я^оо;=0 • n - n - n
24 где последнее равенство верно в силу теоремы 1.5. Поскольку первое и последнее выражение в этой цепочке равенств непрерывны по t (п. н.), то при всех t сразу (п. н.)
t
2 J W sdWs = W2 — t. (3.6)
о
2. Эта формула является частным случаем замечательной формулы Ито, к рассмотрению которой мы сейчас и переходим. Займемся сразу многомерным случаем. Скажем, что ft—-мерный винеровский процесс Wt= (Wt\ . . . ,Wtk) является винеровским относительно потока о-алгебр [OF<} (кратко, что [Wu 3^(} — винеровский процесс), если {Wt\ згt} — винеровский процесс при всяком i=l,...,k. Будем писать, что векторный процесс ft=(ft\...,fth)*S\ если /iGS при t= \,...,k. При /&S" положим
О J = I о
Естественно также, что если задан матричный процесс Ci = = (oJ, і = 1, ..., d, j = 1, ..., k), то мы пишем о^Sdk, когда
t
aiJ?S при всех і, у. Кроме того, в этом случае [ о'sdWs опреде-
0
ляется как d — мерный процесс, для которого
=JWjdWI.
Vo I j=iо
Далее удобно ввести понятие стохастического дифференциала. Интересно, что этому понятию разные авторы (Ито, И. И. Гихман и др.) в разное время придавали разное толкование и в том смысле, в котором оно описано ниже, оно появилось значителньо позже стохастического интеграла Ито, когда формула Ито получила широкое признание и возникла необходимость записать ее как можно проще и естественнее. Пусть а= (oi;) eSdA, bt=(bt\ .. . ,btd) Sfi- измерима при всяком t,
измерима по (и, О и Jj6s|</s<oo (п. н.) для любого t.
о
В том случае, когда для процесса It= (hl, ¦ ¦ ¦ , Itd) при всех t сразу (п. н.) имеет место равенство
і і Ii = E0+ j b5ds + §asdWs,
о O
будем говорить, что It имеет стохастический дифференциал, писать
dlt = btdt+otdWt, (3.7)
25 и правую часть, которая является чисто формальным выражением, будем называть стохастическим дифференциалом процесса lt.
Определим правила действия со стохастическими дифференциалами. Сложение их и умножение на константу определяются естественным образом, при умножении же стохастических дифференциалов договоримся обычным способом раскрывать скобки и пользоваться следующей таблицей умножения:
