Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
(4.35)
где (кумулянта) г|з (?,) =я|э&, с, г (A-) определяется триплетом параметров (b, С, F) и имеет следующую структуру:
xyb C P(I)^iXb---C + f 1 —iXh(x))F(dx), (4.36)
2
12—7927
6
177 где функция «урезания» h = h(x)—любая ограниченная функция с компактным носителем и такая, что h(x)=x в некоторой окрестности нуля (во многих случаях удобно функцию h=h(x) выбирать непрерывной); b&E\ C^О, F(dx) —мера на Ex с
F((O))=O и \(x>f\\)F(dx)< оо.
E1
Заметим, что характеристики CaF являются «внутренними» характеристиками распределения в том смысле, что их значения не зависят от выбора функции урезания h. Что же касается характеристики Ь, то она зависит от h и для двух разных функций урезания h и h' соответствующие характеристики bub' связаны соотношением
b'-b = \[h'(x)-h(x)]F(dx). (4-37>
E1
Триплет характеристик Т=(Ь, С, F) однозначно определяет (при выбранной функции h = h(x)) характеристическую функцию. Поэтому, если ставится вопрос об условиях сходимости распределений случайных величин |п с триплетами Tn = = (bn, Cn, Fn) к распределению случайной величины | с триплетом T — (b, C,F), то можно ожидать, что естественные условия сходимости можно выразить в терминах сходимости компонент этих триплетов.
Для формулировки соответствующего классического результата удобно ввести следующие обозначения:
C = C + \ W(X)F (dx), Cn = CnAr (x)Fn (dx), (4.38)
E1 E1
и
F(S)= \g(x)F(dx), Fn(g)=\g(x)Fn(dx). (4.39)
Ei E1
Тогда имеет место следующая
Теорема 4.2 (Б. В. Гнеденко, 1939 г.). Пусть h = h(x) — непрерывная функция урезания. Для того, чтобы безгранично-
делимые случайные величины |я->| необходимо и достаточно, чтобы
имела место сходимость Tn-^Tn триплетов Tn = (bn, Cn, Fn) к
T =(Ь, С, F) в том смысле, что
Ьп-+Ь,
Cn -> С, (4.40)
FAg)^F(g), gec2,
где C2 — множество непрерывных ограниченных функций, имеющих пределы на бесконечности и равных нулю в окрестности нуля.
178: Замечание 1. Если выполнены условия (4.40), то /7,, (g)-* -*~F (g) и для функций g из класса C3ZdC2, состоящего из всех ограниченных непрерывных функций, удовлетворяющих условию g(x)=o(x2), х-Я).
Замечание 2. В (4.40) достаточно требовать, чтобы функции g принадлежали лишь классу Cll определяемому как подкласс класса C2, который содержит все функции вида ga(x) = (a \х\ — 1)+Д1 для всех положительных рациональных а. Таким образом
Ci си C2 cz Сз.
Истинный смысл важности класса безгранично-делимых распределений объясняется тем, что они (и только они) выступают в качестве предельных распределений для сумм независимых асимптотически пренебрегаемых (малых) слагаемых |ni, . • •
• • • , Inn-
Именно, имеет место следующая
Теорема 4.3 (см., например, Б. В. Гнеденко и A. IT. Колмогоров, [8]).
d
1) Если Sn = Ini+¦••+Inn--то I — безгранично делима;
d
2) Для того, чтобы Sn-->-|, где | — безгранично делимая
случайная величина с триплетом T=(b,C,F), необходимо а достаточно, чтобы были выполнены следующие условия
п
^E H(Ink)-^b,
k=\
п
2[EA2(|„ft)-(EA(|„A)f]^C, (4.41)
A=I
п
geC2 или geCv
k=\
В том случае, когда Sn, гС^-Х, — безгранично делимые случайные величины, условия (4.40) и (4.41) становятся, как можно показать, равносильными.
7. В связи с этой теоремой естественно теперь было бы поставить такой вопрос, а нельзя ли ее обобщить на случай зависимых случайных величин, по возможности, сохраняя структуру условий (4.41). Оказалось, что можно и вот каким образом.
Будем предполагать, что все рассмотрения ведутся на некотором вероятностном пространстве (Q, Sr1 Р) с выделенными на нем потоками 0-алгебр F" = (gr?)ft>0, ti>\, такими, что
sr^cisr^cz, . .CSz".
12*
179 В простейших случаях ^-? = a{r|n0, г|п1)..., r\nk} — a-алгебра, порожденная некоторыми случайными величинами т)„0, г|л1,.. ., r\nk. По своему смыслу Sr^— Єсть совокупность событий (в я-эй серии), наблюдаемых До момента k включительно.
Предположим теперь, что для каждого п^ 1,
En 1, • • ¦ > Enn
последовательность (вообще говоря, зависимых) случайных величин таких, что
lnk—&~nk — измеримы.
Пусть также Sn = Em+ ••• +Enn- Спрашивается, при каких ус-d
ловиях Sn-->-Е> гДе E — безгранично-делимая случайная величина с триплетом T = (Ь, С, F).
Следующая теорема (1982 г. — Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев; 1980 г.— J. Jacod, J. Memin) дает ответ на поставленный вопрос.
Теорема 4.4. Пусть выполнены условия асимптотической пренебрегаемости
sup Р( I InAOeI^1Ao
k<n
и условия
(P) І: E [A(^)O"..J-U fe—і
(B) 2 (Е \h4lnb) I - [Ей (Inn I *?_,)]¦) - С, (o) 2 е [ё^F(g), geeL Тогда SnlLl-
Доказательство этой теоремы удобнее получать как частный случай слабой сходимости конечно-мерных распределений случайных процессов
[nt]
Xi=Iu i>0, b
к некоторому процессу с независимыми приращениями Xt, Q2= ^0. Такое вложение позволяет к тому же и прояснить смысл выражений, входящих в условия (?) —(б).
§ 4. Сходимость процессов с независимыми приращениями
1. Процессы с независимыми приращениями X определяются как процессы, для которых любые приращения
