Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Через SB[0, T](SB[0, Т\ Ed]) обозначается пространство всех сепарабельных процессов Xt с конечной нормой
(Е sup I Xt\чуіч
ю,г]
при всех q^ 1. Если Т>0 фиксировано, то вместо i?[0, Т], SB[0, Т] будем обычно писать S, SB, и такие же обозначения сохраним для S[0, 7"; Ed] и SB[0, Т; Ed], если это не приведет к путанице. Естественным образом определяется сходимость, непрерывность и дифференцируемость В S и SB (см. Н. В. Крылов [23, гл. 2, § 7]). Например, последовательность процессов XtnGS (п^1) сходится к xtGS, если при всех
Предел ^ обозначается через (S) Iim (соответственно, (SB) lim в SB).
Пусть процесс XtGS(SB) зависит от параметра pGEd : Xt = =xtp, pGEd, — и задан единичный вектор IGEd. Процесс yGS(SB) называется 5?-производной (і?0-производной) xtp в
г
59: точке Po по направлению I, если
yt = (S) lim - (xp°+rl — xpt°) ^yt = (SB) lim I
Процесс xtp один раз ^-дифференцируем (і?,0-дифференциру-ем) в точке Po, если он имеет ^-производные (і?.б-производ-ные) в точке ро по всем направлениям. Процесс xtv называется і раз (г'^2) ^-дифференцируемым (^^-дифференцируемым) в точке Po, если он один раз ^-дифференцируем (і?.б-дифферен-цируем) в некоторой окрестности Po и всякая его ^-производная (^?-производная) по любому направлению і—1 раз ^-дифференцируема (^^-дифференцируема) в точке р0.
Если (#"/) —некоторый поток а-алгебр, и процесс xtp согласован с этим потоком, то все его S и производные, которые определены, могут быть выбраны (&~t) -согласованными (см. Н. В. Крылов [23]). Отметим, что справедлива теорема о непрерывности и дифференцируемое™ сложной функции (Н. В. Крылов [23], теорема 2.7.9).
2. Сформулируем теперь теорему о непрерывности и дифференцируемое™ по параметру решений СДУ. Пусть E — некоторое евклидово пространство, SD^E — область (изменения параметров), Т, L^O — фиксированные постоянные, при /б[0, T], xGEd, pG&, определены случайные матрицы at (р, х) размера d\d, bt(p, х)—случайные d-мерные векторы, все (&~t)—согласованные, и при всех р, t, со, X, у
Il at(p, х)—а, (р, 0)||+|Мр, x)—bt(p, y)\^L\x—y\.
Пусть h(p) (^б[0, Т\, pG&) — (&~t) —согласованный случайный процесс, it (P)GS?. Рассмотрим решение xtv СДУ
t t
X? = It(P)+\ os{p, x?)dWs + ^b s(-p, xP)ds, (1.21)
о о
где Wt—d-мерный винеровский процесс. Уравнение (1.21) имеет сильное решение, принадлежащее пространству S (Н. В. Крылов [23] следствие 2.5.6 и теорема 2.5.7). Если І(P)GgB при всех р, то и XtpGS1B (Н. В. Крылов [23], следствие 2.5.10).
Теорема 1.21 (Н. D. Крылов [23], теорема 2.8.1). Пусть et(p, x)^ot(p0, х), bt(p,*x)->bt(p0, х) % & при /?->р0?2) для всякого X?Ed, и lt(p)->lt(p0) в S при р->р0. Тогда хр~>х%л в Я?, р->р0.
60: Если к тому же It(P)-^lt(P0) в &В при р-+р0, то xf-+Xf* б SB при р р0.
Теорема 1.22 (Н. В. Крылов [23], теорема 2.8.4). Пусть лроцесс \t(p) і раз (^-непрерывно) і?-дифференцируем в точке p0G2D, функции о,(р, х), Ь.(р, х) при всех s, ю і раз непрерывно дифференцируемы по р, X при pGS), xGEd, и все эти производные до порядка і включительно по норме не превосходят L(l + \х I )m(rn^0) для любых pGS), s, ю, л:. Тогда процесс х," г раз (^-непрерывно) і?-дифференцируем в точке р0. Если еще процесс It (р) і раз (^В-непрерывно) і?Б-дифференцируем в точке ро, то и процесс xtp обладает этим же свойством.
Частным случаем теоремы 1.22 является теорема о дифференцируемое™ решения СДУ по начальным данным: здесь в роли параметра р выступает (неслучайное) значение х0, а коэффициенты не зависят от него.
Сформулируем теперь результат Ю. Н. Благовещенского и М. И. Фрейдлина о дифференцируемости по начальным данным почти наверное, т. е. предположим, что (Р) =P-
Теорема 1.23 (Ю. Н. Благовещенский, М. И. Фрейдлин [2]). Пусть Ь(р)^р, функции Cts(р, х), bs(p, х) при всех s, со і раз непрерывно дифференцируемы по р, х при pG3), xGEd, и все эти производные до порядка і включительно по норме не превосходят L(\~{-\x\)m(rn^Q) для любых pG&>, S, со, X. Тогда процесс XtP (і—1)-раз непрерывно дифференцируем по р.
Идея доказательства состоит в использовании известного критерия Колмогорова непрерывности процесса. Пусть Ї=1 (при t>l доказательство проводится по индукции). Составим разность
C1 (Р, t, у):=Х-у (xf+s"-xf), где у~>0 — число, IGEi, |/|=1. Можно доказать, что
EIШ, U у)-W, y')\2F<C(\y-y'\*v+\p-p'\^+
+ \t—t'\p) (1.22)
Эта оценка позволяет, в силу критерия Колмогорова, сделать (при достаточно большом р) вывод о непрерывной продолжимости поля Zi(p, t, у) при у\0. В самом деле, пусть уп=2~п, и
со
?,(Л t, 0): = ?,(А t, 1) + 2 ЫР, У*)~Ь(Р, і,Уп-1))-
Л = 1
В силу оценки (1.22) ряд сходится в любой норме Lq, (по
критерию Коши), и предельное значение Zi(P, U 0) можно подставить в левую часть (1.22), т. е. положить в ней у'=0. Тогда из критерия Колмогорова получим непрерывность t,i(p, t, у) по (р, t, у) при у^0. Отсюда следует, что процесс х{р
61: дифференцируем по любому направлению непрерывно относительно (р, t).
Как уже отмечалось выше, дифференцируемость почти на-' верное можно также выводить с применением теорем вложения Соболева.
