Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
о о
Верно и обратное, если Z — слабое решение (4.150), то У слабое решение (4.149), причем оба уравнения обладают или не обладают слабой единственностью одновременно.
3. Рассмотрим теперь задачу о диффузионной аппроксимации последовательности семимартингалов с нормальным отражением в выпуклой области O^Ed.
Пусть при каждом п^ 1 Xn=(Xtn)t>0— семимартингал, определенный на стохастическом базисе Qn,?Tn, F'1, Р") с XtnGEd и триплетом предсказуемых характеристик Tn = (B71tCntVn)r которому отвечает каноническое представление
t t Xl = Xn+ Bnt + Xnc + j j Jcdfx"+f j xd(\in-vn)
О и>1 0 |.V[<1
(ри — мера скачков X") и
ХІФ.
Для Xn имеет место решение задачи о нормальном отражении::
Yn ^ Xl+ъ (Xn)
Приведем соответствующие результаты о слабой сходимости
Yn%Y, (4.151),
где Y — процесс диффузионного типа с отражением в области определяемый уравнением (4.149).
Теорема 4.42. Пусть для области О выполнено условие (а).
Если g(t, Y) обозначает любой из элементов вектора b(t, Y) или матрицы cU2(t, У), то
|g(<,ni<Ml+sup|r,|). (4.152)
s<t
При каждом tGS (S — всюду плотное множество в R+ J dt =
= 0) элементы b(t, У) и c(t, У) непрерывны в метрике Скорохода в каждой точке YGD(O)HC. Уравнение (4.149) имеет един-
17* 247 ственное слабое решение. Кроме того,
d
Xo -> X0
Для любых t > 0, є > 0 и аб(0, 1 ]
IimP" К Jj dv'l>& 1=0,
0 \х\>а
IimPrt sup
о>
Vn)du
>е =0,
lim Р" sup
п V
где
( Mna > ( = с? +
du
>е
= 0,
•J J XxWt^ J -^"(М, J xv"({s}, ^x)4]*,
< \!-Г|<я /
О И<а
s«
— знак транспонирования. Тогда имеет место (4.151).
Теорема 4.43. Утверждение теоремы 4.42 остается в силе, если вместо условия (а) на область О предполагается выполненным условие (?), а вместо условия (4.152) условие
¦\g{t, У) KZ..
4. Пример. Пусть A = (At)ts,0, D=(Dt)tis0 — точечные процессы и Q=(Qt)ts,о — решение уравнения
t
Q, = A-jj /(Qs_>0)dDs,
о
t
где (/(Q,_>0)dDJ = 2/(Q,->0)ADs. о
Процессы Л и O можно интерпретировать как процессы поступления заявок и обслуживания, a Q — как процесс очереди в модели массового обслуживания с автономным прибором. В простой модели такого вида предполагается, что А и D — независимые пуассоновские процессы с интенсивностями к и р соответственно. Усложним модель, считая, что процессы А и D обладают свойством:
2 AAtADt = O,
248: т. е. скачки процессов А и D не совпадают. Кроме того, при фиксированном значении очереди Qt в момент времени t интенсивности процессов ArD зависят от Qt:
X=X(tQt), p = |i(eQ«),
где є — малый параметр, Х = Х(х), р = р(я)—неотрицательные непрерывно дифференцируемые функции с ограниченными и равномерно непрерывными производными X'(х) и Il'(х).
Если X и р — константы и л = р, то в такой модели массового обслуживания не возникает стационарного режима. В общем случае при
Я(0)=ц(0) (4.153)
также неестественно предполагать существование стационарного режима. В связи с этим для изучения очереди на больших временных интервалах в предположении (4.153) рассмотрим нормированный процесс Ye = (Ytc) t>o с
Vt = VE Qtle. (4.154)
В этом случае
YeZV, (4.155)
где Y= (Yt) t>o — диффузионный процесс с нормальным отражением в области 0={*>0}, определяемый стохастическим уравнением
t
Yt = Jj (0)- ц' (O)] Y?s + J/ЩО) Wt + vt, (4.156)
о
(W=(Wt)t>0 — винерозский процесс, ф = (фД>0 — ассоциированная с Y функция).
Чтобы установить этот факт, достаточно заметить, что Qt->Xt — inf Xs, Xt = Ai-Dt
s<t
и, значит, Q — решение задачи Скорохода о нормальном обращении в области 0 = {л>0) и inf Ars = ф( (Ar)-BccoHHHpoBaHHas
с Q функция. Далее,
Yet = V* {Хцг - inf (Xs)) =
s<t/г
= Ve xt„+Cftle(V^X)=Vt Xtis+4t(Vs'x.lE).
Применение теоремы 4.42 с е = 1 In приводит к слабой сходимости (4.155) с диффузионным процессом Y, определяемым стохастическим уравнением (4.156) с нормальным отражением.
249: При этом
где Г = (К)/>0 —гауссовский диффузионный процесс —решение линейного уравнения Ито
t
Yt = Jj [л' (0) - п/ (0)] Ysds + V 2Ц0) Wt о ^
относительно винеровского процесса =
КОММЕНТАРИЙ К ГЛАВЕ 4
I. § 1. См. книгу А. Н. Ширяева [26].
§ 2. По поводу различных типов сходимостей см., например, А. Н. Ширяев [26]. Основные сведения о топологии Скорохода содержатся в книге Биллингсли [1], см. также Линдвалл [43] и Стоун [49].
§ 3. Теорема 4.1 установлена в [42], по поводу теорем 4.2, 4.4 см. [8],
[18], [39].
§ 4. Доказательство теоремы 4.5, 4.7 имеется в книгах Р. Ш. Липцера, А. Н. Ширяева [19], Жакода, А. Н. Ширяева [40]. Теоремы 4.8—4.10 принадлежат Жакоду [38], см. также Жакод, А. Н. Ширяев [40].
§ 5. По поводу теоремы 4.11 см. Жакод, А. Н. Ширяев [40]. Теоремы 4.12, 4.13 установлены у Р. Ш. Липцера, А. Н. Ширяева [19], а теоремы 4.14, 4.15 — у Р. Ш. Липцера, А. Н. Ширяева [19] и Жакода, А. Н. Ширяева [40]. Теорема 4.16 имеется в Гл. 8 [19], теорема 4.18 — в [40], теорема 4.19 — в
[19].
§ 6. Необходимые и достаточные условия относительной компактности (теорема 4.20) семейства вероятностных мер приводятся у Биллингсли [1]. Теорема 4.21 принадлежит А. Н. Колмогорову—Н. Н. Ченцову и также приводится в [1]. Теорема 4.22, являющаяся одним из наиболее эффективных инструментов доказательства относительной компактности, принадлежит Аль-дусу [27], [28].
