Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Обсуждение теоремы 3.1, ее доказательство и некоторые следствия см. работы Н. В. Крылова, Б. Л. Розовского [8], Б. Л. Розовского [11]
§ 4. Стохастические дифференциальные уравнения монотонного типа в банаховых пространствах
1. Рассматривается эволюционное стохастическое уравнение
t
V (І, (O) = M0 (со) + \ А (V (S, со), S, со) cfs + 6
t
+ j B(v(s, СО), s, со)dW(s, со) + z(t, со), (2.6)
о
на некотором полном вероятностном пространстве (Q, Р) с возрастающим потоком полных а-алгебр (&~t), Z6[0, Т], О<Т<сс. Здесь считаются заданными некоторые действительные сепарабельные гильбертовы пространства HmE, отождествленные со своими сопряженными, W(t) = W(t, со)—винеровский процесс в E с ядерным ковариационным оператором Q (см. выше), z(t)=z(t, со) —квадратично интегрируемый непрерывный мартингал в Н. Предполагается также заданным действительное сепарабельное рефлексивное банахово пространство У и сопряженное к нему V*, причем выполнены условия:
а) V^=H^H*^=V*,
б) V плотно в Я (в норме Я),
в) ДЛЯ всех ибУ (с>0),
г) если убУ, v*QH(^V*), то vv*=(v,v*)H. (Важнейший пример таких пространств Я и V — это пространства V=Wpm(G), р6(1, оо), и H = L2(G), где G — ограниченная область в Rd, и dp^2(d—mp).) Предполагается, что при каждых (v, t, со) 6УХ[0, величины A(v, t, со) и B(v,t, со) из (2.6) есть операторы:
A(v, t, со) б У*, B(v,t,a)GSQ(E, Н),
и фиксированы числа р€(1,оо) и q = p/(p—1).
Будем предполагать также, что при каждом vGV функции A(v, t, со), B(v,t, со) измеримы по (Z, со) в смысле Лебега относительно меры dZXrfP и t) -согласованы, т. е. при каждых vGV, Z6[0, T] они ^-измеримы по со. (Напомним, что, ввиду се-
87: парабельности V* и 3?Q(E, Я), понятия слабой и сильной измеримости здесь совпадают, и потому говорится просто об измеримости.) Величина U0 из (2.6) есть ^"0-измеримая функция на Q со значениями в Я.
Определение 1. Решением, или V-решением уравнения (2.6) называется функция v(t,a>) со значениями в У, определенная на [О, ЛХЙ, измеримая по (t, и), -согласованная и удовлетворяющая неравенству
T
E ^(\v(t)\pv + \v(t)\jf)dt< оо (2.7)
о
и равенству (2.6), понимаемому как равенство элементов V* при почти всех (t, со) Є[0, 7]ХЙ.
Таким образом, решение понимается в сильном смысле. По поводу теории слабых решений см. работы Вио [16], Метивье и Вио [14].
Уравнение (2.7) рассматривается при следующих условиях: существуют такие постоянные К, а>0 и неотрицательная, (^)-согласованная, измеримая по (t, со) функция f(t,a) на [О, ЛХЙ, что при всех V, vu V2GV и (t, со)б[0, Г]ХО:
А\) (семинепрерывность Л)): функция vA(v\-\-Xv2) непрерывна по % на E1;
A2) (монотонность (Л, ?)):
2 (V1-V3)(Afa)-A (V2)) +1 В (V,) - В (V2) % < К | v, - v2 Ik
A3) (коэрцитивность (А, В)):
2vA(v) + \B(v)fQ+<x\v\',< f + K\v\%\
Л4) (ограниченность роста Л):
I Л (v) |і/* < /1/? + A' I V т
A-) Е\ц0\2н<<х,, E§f(t)dt<*>.
о
Оказывается, что при таких условиях функции A(v(t),t) и B(v(t),t) измеримы по (t, со) и (STt) -согласованы, и при условии, что справедливо неравенство (2.7), интегралы в (2.6) определены и конечны (см. Н. В. Крылов и Б. Л. Розовский [8], Б. Л. Розовский [11]).
Определение 2. Я-решением уравнения (2.6) называется функция u(t, со) со значениями в Я, определенная на [0,7]ХЙ, сильно непрерывная в Я по t, (STt)-согласованная и такая, что
1) «6V (п. в. (t, со)), и
T
e l(\u(t)\pv + \u(t) 1? dt < oo-
о
88: 2) существует такое множество полной меры Q'sQ, на котором при всех Т]
W(^)=U0 + J л (u(s), s)ds+^B(u(s), s)dW(s) + z(t), (2.8)
О <5
где равенство понимается как равенство в У*, а интегралы понимаются как
t t
J А (и (S), s) ds: = jj / (и (S)GVr) А (и (s), s)ds,
о о
t і
jj?(«(s), s)dtt?(s): = jj I (u(s)eV) В (u(s), s)d\V(s), о о
где функция /(«(s)eV) ( = 1 п. в. (/, со)) измерима по (/, со) и (&~t)-согласована в силу леммы 2.1.
Определение 3. //-решение и называется непрерывной в H модификацией решения v, если u(t, со) =v(t, со) п. в. (t, со).
Теорема 2.8. Пусть выполнены все перечисленные выше условия. Тогда У-решение v уравнения (2.6) существует, имеет непрерывную в H модификацию, эта модификация единствен-
на и
E sup I u(t)+ E J I v(t)]p dt
<
t<T
( т \ <c(E|«X + EJ f(t)dt + E\z(T)\lj,
где с зависит только от К, р, Т, а.
Теорема 2.9. Пусть выполнены предположения теоремы 2.8, А и В не зависят от со, z(t)=0, v(t) — решение уравнения (2.6), u(t)—его непрерывная в H модификация. Тогда u(t) — марковская случайная функция.
Доказательство теорем 2.8 и 2.9 см. в работах Н. В. Крылова, Б. Л. Розовского [8], Б. Л. Розовского [11]. Существование У-решения доказывается с помощью перехода к пределу методом монотонности от конечномерной ситуации, для которой предварительно устанавливаются не зависящие от размерности оценки решения. Заметим, что и для конечномерного случая условия монотонности и коэрцитивности дают новый, по сравнению с «обычной» теорией, результат (ср. с § 1). Существование непрерывной в H модификации решения вытекает из теоремы 2.7. Справедлива также теорема об устойчивости решения по начальному данному.
