Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
О некоторых других теоремах о сильной единственности см. работу А. Ю. Веретенникова, М. Л. Клепцыной [9].
6. Теоремы сравнения. Пусть d= 1. Рассмотрим одновременно два уравнения
dx'=a(t, x't)dWt + bl(t, х')dt, Xi0 = Xi, (1.14)
где /=1, 2, a bl, b2 — борелевские ограниченные функции. Предполагается, что при г = 1, 2 выполнены условия теоремы 1.8, в Частности, каждое уравнение имеет сильное решение и решение сильно единственно.
Теорема 1.9. Пусть X1^=X2, и при всех t, х справедливо неравенство bx(t,x)~^b2(t,x). Тогда P(Xi1^xi2, ^3=0) = 1.
Этот результат установлен М. Л. Клепцыной [16]. Ранее в других ситуациях подобные результаты доказывались А. В. Скороходом [33], Ямадой [57], Манабе и Шигой [46]. Основная идея доказательства состоит в том, чтобы, во-первых, свести задачу к ситуации bl(t,x)>b2(t,x), хх>х2, а во-вторых, в этой ситуации установить равенство Р(т : =inf (t^O : xtx< Cxi2) = оо) = 1. Если b1 непрерывны, то последнее равенство получается из следующих соображений. Пусть т' : = inf (t^ ^=O : X^1=Xi2) <оо• Тогда в силу условия b1—b2~>О и непрерыв-
4—7927 49НОСГИ Ь', В некоторой окрестности т' получим Xtl>Xt2 (t?= т')г откуда и следует, что т = °о. Для разрывных b' удается использовать оценки Крылова.
7. Теоремы существования сильного решения. Теоремы сравнения, в частности, теорема 1.9, дают интересную возможность устанавливать существование сильного решения монотонным предельным переходом, без ссылок на потраекторную единственность, которой может и не быть.
Теорема 1.10. Пусть d=\, выполнены условия (1.8) — (1.11), и функция b(t,-) при каждом /^0 непрерывна. Тогда уравнение (1.3) — (1.4) имеет хотя бы одно сильное решение.
Еще раз подчеркнем, что сильная единственность при фикси-', рованной функции b не утверждается. Однако, если рассматривать семейство функций (ba, а^Е1), строго монотонно зависящих от параметра а (например, ba(t,x) : = b(i, *)+«), то та же теорема сравнения гарантирует также сильную единственность при всех значениях а, кроме, быть может, счетного числа.
Теорема 1.11. Пусть d= 1, выполнены условия (1.8) — (1.11), ba(t, х) = b (і, х) +а, и функция b(i,-) при всех 0 непрерывна. Тогда при всех atE\ исключая, быть может, счетное число значений, решение уравнения
dxt = a(t, Xt)dWt+ba{t, xt)dt, Xq = X,
сильно единственно.
Идея доказательства состоит в использовании монотонности по а: монотонная функция не может иметь более чем счетное число разрывов. Теорема 1.11 доказана М. Л. Клепцыной [16]. Сам метод монотонных приближений впервые применил А. В,. Мельников [29], который доказывал сильную единственность для кусочно-непрерывного сноса. Затем теоремы существования без единственности этим методом получали И. В. Фе-доренко [35], А. В. Мельников [47], М. Л. Клепцына и И. В. Фе-доренко [18], М. Л. Клепцына [16].
8. Потраекторное решение стохастических дифференциальных уравнений. Само понятие решения стохастического дифференциального уравнения — не потраекторное, решение должно быть задано сразу при всех габй, в этом специфика стохастического интегрирования. Однако, если о=1, а коэффициент b достаточно гладкий, то можно решать уравнение (1.3) — (1.4) при каждом to, т. е. при каждой траектории Wt (со), t^O, ничего не зная о траекториях W при других значениях со. Возникает естественный вопрос: в каких ситуациях стохастическое дифференциальное уравнение можно понимать (и решать) как потраекторное уравнение при каждом со, и можно ли при этом операцию стохастического интегрирования понимать в некотором потраекторном смысле, т. е. определять значение величины / o(s, JCg((o))dfl7g((o) только по траекториям *((o)) и Wt(ш)
50при фиксированном to. На этот вопрос в общей ситуации до сих пор нет удовлетворительного ответа: все известные результаты на эту тему требуют выполнения условия полной интегрируемости или условия Фробениуса относительно матрицы, диффузии, и определенной, как правило, довольно ограничительной, гладкости коэффициентов. Условие полной интегрируемости а обычно формулируется также с использованием производных, однако, сущность этого условия, в действительности,, с гладкостью коэффициентов не связана. Само это условие возникает из метода, который заключается в том, что винеров-ская траектория заменяется некоторым гладким приближением, и устанавливается возможность непрерывно продолжить соответствующий оператор с гладких на все непрерывные траектории. Условие непрерывности этого оператора и есть условие полной непрерывности. В случае d = 1, тем не менее, условие полной интегрируемости, как правило, выполняется почти автоматически (см. ниже).
Условие полной интегрируемости. Пусть, функция a(t, ¦) непрерывно дифференцируема при каждом
0. Тогда a(t, •) при каждом ^O вполне интегрируема, если при всех I, т]?Ed
((~frх))a{t'{(тгa{t> х})0 'И
Смысл этого условия, фактически, не связанный с диффе-ренцнруемостью ст, заключается в однозначной разрешимости в C1 задачи
(при фиксированном t) с произвольным начальным условием. у(хо)—уо, — см., например, Картан [14].