Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
1
]f(x+Wt)dt
о
абсолютно непрерывна по х, и ее производная по х интегрируема в квадрате по х по любому конечному отрезку изменения х. Иначе говоря, Wt «сглаживает» f. Доказывается это с помощью продолжения с гладких f на негладкие и следующих выкладок, которые получаются с помощью преобразования Фурье:
і
dl^
E j [I f'{x + Wt)dt \ dx = E J if(%)\eiWtdt
-co \0 / -OO O
CO I -S
= 2 j I21 /(g) I2 E j ds j dte^s-^dt=*
-co O O
7 ~ r r 4-S'U-0 = 2 j |2|/(I)I2 Jrfs Jrf^ 2 rf| =
— оо о O
00 ' ( -— I3A 00
= 4 j I / (!) I2 j (l — e 2 'Jflfcrfi <4 Ji/(i)|2rfS-
—oo O —oo
OO
= 4 j P(x)dx,
— CO
где /-—преобразование Фурье f.
4. Физические представления о природе винеровского процесса подсказывают, что он должен играть роль предельного процесса для случайных ломаных и такую же роль, какую играет гауссовское распределение для сумм независимых одинаково распределенных величин. Для пояснения этого рассмотрим простейшую модель, описывающую процесс перемещения некоторой точки — частицы под ударами других. Пусть г)4, k= 1,2,... — независимые, одинаково распределенные величины с Efift=O, Erib2=I. Фиксируем целое rC^ 1 и пусть в моменты времени кратные \/п наша частица испытывает воздействие, перемещающее ее на т]й/Уп, где k — номер воздействия. Пусть в начальный момент частица находится в нуле, Sk= "=lTji+ ••• +rIft- Тогда в моменты времени k/n частица будет находиться в точке ShlYn и будет оставаться в этой точке на
14 промежутке времени [k/n, (fe+1 )/п). Так как движение реальной частицы имеет непрерывную траекторию, то мы изменим построенную кусочно-постоянную траекторию на кусочно-линейную, сохраняя ее положение в моменты времени k/ti. Так мы приходим к процессу
lnt =Y^ sXnnjT-Y^ \nt^V
Этот процесс дает приблизительное представление об одномерном броуновском движении, а более полное представление должно получаться при оо. Кстати говоря, именно желание устремить п к бесконечности привело к интервалам между взаимодействиями
длины и перемещению в момент удара на цпі \ 'п, так как при
этом по центральной предельной теореме асимптотически
нормально с параметрами (0, t).
Как и в центральной предельной теореме, далее речь пойдет не о сходимости Iin при п-*-оо к некоторому процессу, а о сходимости распределений процессов g.71 к распределению винеровского процесса. Пусть С[0, 1] — метрическое пространство всех действительных непрерывных функций на [0, 1] с расстоянием между двумя элементами х., у. этого пространства, определяемым по формуле
р(х., y.)=sup{\xt—yt \ :/6(0, 1]}.
Возьмем в С[0, 1] ст-алгебру борешевских множеств. Тогда оказывается, что I й и W. являются случайными элементами со значениями в С[0, 1]. Случайные элементы W. имеют распределения на CfO, 1], т. е. соответствующие меры на борелев-ских подмножествах С1[0, 1]:
/у(Л) = Р(|пеЛ), F^.(A) = V (W^A).
Напомним еще, что последовательность мер ^n на борелев-ских множествах некоторого метрического пространства X называется слабо сходящейся к мере ц, если для всех непрерывных ограниченных функций f на X
Iimj/ (X) Iirt (dx)= f/(x)ii (dx).
п-<*>х к
Следующая теорема, являющаяся аналогом центральной предельной теоремы, носит название функциональной предельной теоремы, а также не очень удачное название «принципа инвариантности». Она имеет огромное как теоретическое, так и прикладное значение.
Теорема 1.6 (Донскер). Последовательность распределений F^1 слабо сходится к Fw. на С [0, 1].
15 Эта теорема имеет обобщения на широкий класс процессов, ОТЛИЧНЫХ OT Itn (см. ниже гл. 4).
В качестве примера применения теоремы Донскера найдем распределение случайной величины ?=max{Wt, /бі[0, 1]}. Так как тах{хг, 1]} есть непрерывная функция от х. на С[0, 1], то по теореме Донскера распределения случайных величин tn = max{gfn, ^[0, 1]} слабо сходятся к распределению
Becb1Ma существенно, что при этом можно строить по любым независимым величинам r)A, удовлетворяющим условиям Ег)й=0, Erjfe2=I. Возьмем Tjb так, чтобы P(Tjfe=I) =
= Pfrjft=—1} = 2 • Тогда вероятность появления каждой фиксированной ломаной в качестве реализации |/п на [0, 1]] одна и та же и равна 2~п. Кроме того, число ломаных, благоприятствующих осуществлению событий
где целое г>0, одинаково. Показывается это с помощью «принципа отражения-» (Д. Андре), когда каждая ломаная, подходящая для первого события, не меняется до момента достижения уровня t'/У«, а затем симметрично отражается относительно этого уровня и переходит в ломаную, благоприятствующую второму событию. При этом возникает взаимно однозначное соответствие. Следовательно,
If <
Кроме того, очевидно,
Отсюда
р{г">^}=2Р{5?>7Тг}+р|5?-г/К'"
16 при целом і>0. При t = 0 это равенство очевидно. Далее имеем Р{?» = і/К"я} = Р №>iiV~n)-V\ln>{i + l)lV~n) =
Ef (-) = E/ (l?---t Ef (if), Ef Q =2E/ (W1),
P {max Wf > a:} = 2P {W, > jc>, x > 0,
где f—любая непрерывная ограниченная функция, равная нулю на отрицательной полуоси.
Формула (1.5) и дает искомое распределение. Вообще,
