Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Следующая теорема установлена М. A. Kp асносельским и А. В. Покровским [19] (в этой работе рассмотрена более общая ситуация, когда матрица диффузии зависит и от значения Wt : a (t, xt, Wt)). Ее удобнее сформулировать для стохастического уравнения в форме Стратоновича.
Теорема 1.12. Пусть выполнено условие полной интегрируемости o(t, •) при каждом Q&0, функция о дважды непрерывно дифференцируема и ее первые производные ограничены, а функция b непрерывно дифференцируема. Тогда решение стохастического дифференциального уравнения в форме Стратоновича
dxt = a{t, xt)°dWt-\-b(t, xt)dt, Q>0, х0=х, представимо в виде Xt= Vf[0, х] W, где Vf[0, х]и — непрерывное продолжение на С[0, оо; Ed] оператора, переводящего функцию ибС'[0, оо; Ed] в решение уравнения
dXt = a{t, Xt) utdt + b(t, Xt) dt, t > 0, X0=x. (1.15) Непрерывное продолжение этого оператора существует.
4*
51 Аналогичные результаты (с a=a(t, х)) установили Досс [41], [42], Сусман [55]. Новые теоремы о непрерывной зависимости для уравнений по семимартингалам получены В. Мацкявичусом [28 и др.], Дьёндем.
Ослабить требования «лишней» гладкости на а и ft не удается, вообще говоря, даже в одномерном случае. Здесь есть лишь частные результаты, один из которых приводится ниже.
Теорема 1.13. Пусть d= 1, а=1, функция b (х) (х?Е1) непрерывна. Тогда решение уравнения
t
X, (со)=л -1- Wi (со) + j b {x,s (со)) ds, (1.16)
о
с вероятностью 1 единственно.
Отметим, что в силу условия непрерывности ft уравнение (1.16) имеет хотя бы одно решение при любой непрерывной траектории Wt, t^O.
Единственность здесь понимается в смысле обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. при фиксированном собЙ. Доказательство (см. А. Ю. Веретенников, М. Л. Клепцына [10]) основано на разложении винеровского процесса на фиксированном отрезке времени в ряд по синусам и косинусам (см., например, Ватанабэ, Икэда [3]) и на теореме сравнения для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Результат теоремы 1.13 распространяется и на случай аФ\ при условии inf а (я) >0 и O^C1(Ei) (А. Ю. Веретенников,
x
М. Л. Клепцына flO]). В этом случае, однако, возникает вопрос о том, что есть потраекторное решение стохастического дифференциального уравнения, Один из возможных способов рассуждений состоит в следующем. Сделаем замену координат, после которой диффузия станет тождественно равной единице, в этих новых координатах решим уравнение, и затем сделаем обратную замену. При этом возникает естественный вопрос: определен ли в каком-либо смысле «потраекторный» стохастический интеграл
/ /
[o(xs)dWs: =xt-xu-1 b{xs)ds, о о
именно как интеграл (а не просто как правая часть данного равенства). Оказывается, что ответ на этот вопрос утвердительный: этот стохастический интеграл действительно можно понимать как предел интегральных сумм Римана—Ито при неограниченном измельчении интервалов разбиения, если фильтр разбиений фиксирован заранее, например, в качестве точек разбиения берутся двоично-рациональные точки. Доказательство основано на «потраекторной» формуле Ито, которая, в свою очередь, основана на определении квадратичной вариации «типичной» винеровской траектории. Похожий под-
52 ход использовали М. А. Красносельский, А. В. Покровский в
Из единственности почти наверное в смысле обыкновенных дифференциальных уравнений для уравнения (1.16) вытекает и единственность в смысле сильных решений (которая, правда, уже известна: это лишь еще один способ ее установить).
Пока данный метод не дал результатов в случаях d>\, при d— 1 и измеримой функции Ь, и даже при d= 1 и непрерывной Ь, зависящей от времени.
Еще один подход к потраекторным решениям, связанный с описанием всех — неупреждающих и упреждающих — решений предложен Т. А. Торонджадзе и Р. Я. Читашвили [39].
9. Контрпримеры: теоремы Цирельсона и Барлоу. Существование слабых решений СДУ — марковского и немарковского типа — установлено при очень широких ограничениях. Первые простые контрпримеры существования сильного решения для уравнения dxt = a (xt)dWt, х0=х, с невырожденной ограниченной диффузией построены Танакой и Крыловым. В примере Танаки размерность d= 1, а(х) =1(х^0)—I(x<L0); в примере Крылова d = 2, а матрица диффузии имеет вид
— см. обсуждение этих и некоторых других примеров в статье А. К. Звонкина, Н. В. Крылова [12]. Отметим одно интересное свойство обоих примеров: если Xt -— (слабое) решение, то его модуль IJCt I является STtw—согласованным, хотя, как было сказано, Jci таким свойством обладать не может.
В работе А. К. Звонкина, Н. В. Крылова [12] сформулированы три важнейшие нерешенные к тому времени проблемы теории сильных решений. В настоящее время все они решены. Существование сильного решения СДУ dxt = b (t, xt)dt-\-dWt, JCo=X, с ограниченным, измеримым сносом b (cQ^l) следует из приведенной выше теоремы 1.6. Другие две задачи получили отрицательные решения в примерах Цирельсона и Барлоу.
Пример Цирельсона [36] относится к одномерному уравнению
где a (t, Xot)—измеримый ограниченный неупреждающий функционал. Пусть (а} — дробная часть числа а, (4, =0, —1, —2, . . .) — последовательность положительных чисел,
