Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
t
X(h)t = Xt-\\ (x-h(x)) d\i,
0 E1
183: где (і —мера скачков канонического процесса (или, равносильно, пусть Л'(A) = X-X (А), где X(A)i = 2 (AXi)]) и "Усть
M(h)t=X(h)t-X0-Bt(h).
(Если обартимся к (4.50), то видим, что Af(Zi) есть мартингал). Обозначим также t
c/==c, + j j h2(x)v(ds, dx)- 2 (Ja(a:)v({s}, dx)f =
0 Я1 0<i<< E1
і
= C,+ J J A2(X) V (^, dx)- 2 (A^)2-
Of1 0 <s<t
Оказывается, что вероятностная мера P на (D, SD) является мерой (канонического) процесса с независимыми приращениями Xt(a) = a(t), 0, имеющего триплет T= (В, С, v) в том и только том случае, когда (относительно этой меры Р) следующие процессы
1) M(h) = (M(h)t)t>о, 2) M2(A)-C,
3) g*ix—g*v,
являются мартингалами. Здесь 'S (определяющий) класс ограниченных борелевских функций на E1, равных нулю в окрестности нуля и таких, что если для двух мер Т] и Т] со свойством А ({0}) = п ({0)) = 0, T1 (je: IJC J > е) < оо , г)' (х:) х | > є) < оо
имеем г)(/) = 11(/) для /Є2?+, то T] = vi; этот класс не пуст и существуют семейства являющиеся, например, счетными и содержащими только непрерывные функции.
Частные случаи этой теоремы хорошо известны. Пример 1. Если X0=O, Ct — непрерывная неубывающая функция и B=0, v=0, то мартингальная проблема формулируется в виде:
1) X = (Xt)^0-мартингал,
2) X2-C = (X2t-Ct)t>о-мартингал. Соответствующая мера P (притом единственная) относительно которой (в пространстве непрерывных на [0, оо) функций) есть не что иное как винеровская мера. Это утверждение носит название «теоремы Леви».
Пример 2. Пусть X=(Xt)tsa0 — cadlag функции, являющиеся кусочно-постоянными и со скачками размера —)— 1. X0=O. Если
Bt(h)=h(\)Au C(t)= О, V(dt, dx)=dAt®z\(dx),
188: где A= (Al)t^0 неотрицательная непрерывная неубывающая функция (скажем, At=Xt, Х>0), а ei (dx)— мера Дирака, сосредоточенная в точке X= 1, то (в каноническом пространстве указанных функций), существует одна и только одна вероятностная мера, относительно которой процесс X есть процесс Пуассона с EXt=At. Это утверждение есть теорема Ш. Ватанабэ.
Пример 3. Пусть
xt=y,ik, E0=O,
k<t
— случайный процесс, порожденный суммой независимых случайных величин. Соответствующий триплет T= (В, С, v) здесь имеет следующий вид
Bt = ^iEh(Ik),
h<t
Ct = о,
k<t
В этом случае «дискретная характеристика» v полностью определяет триплет Т. Меры v({k}Xdx) ( = P(IhZdx)), определяют распределение вероятностей процесса X и при этом (в координатном представлении) однозначно.
3. Обратимся теперь к условиям, обеспечивающим сходи-S(s)
мость Xn-->Х конечномерных распределений процессов с
независимыми приращениями Xn к X (в моменты времени, принадлежащими множеству S).
Пусть Тп=(Вп, Cn, V") и T= (В, С, v) —их триплеты. Введем условия
(?-S) В" -+Bs, s?S, (T-S) Cs-^Cs, seS, (i>i — S) g*Vs-+g*vs, g^Ci
Теорема 4.5. Предположим, что процесс с независимыми приращениями X не имеет фиксированных моментов скачков (равносильно, непрерывный по вероятности). Пусть также выполнено следующее условие асимптотической пренебрегаемости скачков у допредельных процессов X":
IimSupvrz((S)X(Uj^)) = O, є > 0, teS. (4.52)
п s<t
Тогда выполнение условий (?—S), у—S), Si—S) для і= 1 или і=2 является необходимым и достаточным для слабой схо-St(S)
димости Xn—*-Х.
185: Если к тому же множество S является всюду плотным в R+, то условие (ol— S) => (4.52) и значит
(?-S), (f-S), (O1-S)=**"--**. (4.53)
Замечание 1. В (4.53) обратная импликация, вообще говоря, не верна. Вот пример.
Рассмотрим детерминированную функцию
О, в других случаях
1/п 2/п
S(S)
и Xt=O. Тогда Xrt—>Х, но условие (4.52) не выполнено.
Замечание 2. Из теоремы 5 вытекает, конечно, и теорема 2 (о сходимости безгранично делимых распределений при условиях (4.40)) и теорема 3 (о сходимости распределений суммы асимптотически пренебрегаемых независимых случайных величин к безгранично делимому). Чтобы в этом убедиться до-
[nt]
статочно положить X "=^nh, в качестве X взять однородный процесс с независимыми приращениями и характеристической функцией (4.49) и затем взять S = (I).
Хотя теорема 2 есть частный случай теоремы 3 удобно их объединить в следующем виде.
Пусть безгранично делимые случайные величины с
триплетами (Ьп, С", v") и (in»)i<»<n, n^l, — треугольная схема асимптотически пренебрегаемых независимых (при каждом п) и независимых от ri^l случайных величин. Пусть h = h(x) — непрерывная функция урезания и пусть выполнены следующие условия:
Cn Ht- 2 [EA2 (Enft) - (EA (Inft))2] С, (4,54)
Fn(g)^ eS(Ы-F(g), geCj или geC2,
где T = (b, С, F) —триплет безгранично делимой случайной величины Тогда
In- (4-55)
Для вывода этого результата из теоремы 5 достаточно определить, например, процессы
Xt^
и в качестве множества S взять множество, состоящее из одной точки S = (I).
186: Доказательство теоремы 5 проводится методом характеристических функций и основано на том факте, что характеристические функции
gn{X) = Ee"X?=&(Gn(X))t, gt(X)=EeiVct = % (G(X))t явно определяются через триплеты Tn и T, поскольку
