Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Анулова С.В. -> "Стоханическое исчисление " -> 49

Стоханическое исчисление - Анулова С.В.

Анулова С.В., Веретенников А.Ю., Крылов Н.В., Липцер Р.Ш. Стоханическое исчисление — ВИНИТИ, 1989. — 260 c.
Скачать (прямая ссылка): ischesleniyastoh1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 93 >> Следующая


Определение 3. Случайная мера ji оказывается целочисленной, если

a) JX(со; (OX-S1)^l тождественно;

b) для каждого Ag@(R+)®& ц(-,Л)б{0, 1,...,оо};

c) jx опциональная и 2р-а-конечна.

Примером такой меры может служить мера цх скачков согласованного процесса X с траекториями из пространства D:

(со; dt, dx) = I{AXs((A)?=0}e(s^Xs{a))dt, dx),

s

где 8(a) — мера Дирака в точке а.

Фундаментальным примером целочисленной случайной меры является пуассоновская мера.

Определение 4. Целочисленная случайная мера jx называется расширенной пуассоновской мерой, если

a) мера т(А) =Ец(А), AGffl(R+) является

о-конечной;

b) для каждого sGR+ и каждого AGffl (R+)®(g такого, что Лє (s, оо) Х? и ц(Л) <оо, случайная

величина Ji (-,Л) не зависит от о-алгебры @~s.

Мера т называется интенсивностью меры ц и если т такова, что m({t}XE) = 0 для каждого tGR+, то jx называется пуассоновской случайной мерой и к тому же однородной, если m(dt, dx) =dt~XF(dx), где F — положительная о-конечная мера на (Е, <§).

125: Нетрудно проверить, что для расширенной пуассоновской меры с интенсивностью т ее компенсатор v(w; ¦)=т(-).

Другим примером целочисленной случайной меры является мера ?<T'x) мультивариантного точечного процесса

(Т, Х)=(Тп, X„)n>h

определяемая формулой

1-і (со; dt, dx)=]? I (Tn < ос) е{Тп<хn)(dt, dx),

7Z>1

где (Tn)nssI — марковские моменты такие, что Ti>0

7„<7n+1 на {7„<оо} и Тп+1 = Тп на {Г„ = оо},

a Xn — случайные элементы со значениями в Е, обладающие тем свойством, что

XnGE на (TnCoo) и Х„ = б на {Тп = оо},

где б — некоторая «фиктивная» точка, не принадлежащая E и GSFt п для всякого CG<o .

§ 6. Локально квадратично интегрируемые мартингалы. Квадратическая характеристика

1. Пусть M2 и ^foc — классы квадратично и локально квадратично-интегрируемых мартингалов. Если M и N принадлежат классу то им можно поставить в соответствие предска-

зуемый процесс, обозначаемый <М, АО, принадлежащий классу T и такой, что MN—(М, N)GJhoc.

Этот процесс <М, N>, называется предсказуемой квадрати-ческой ковариацией или квадратической характеристикой пары (М, N).

Если MGffi2, то согласно разложению Дуба—Мейера применяемого к субмартингалу M2 найдется (и притом единственный с точностью до стохастической неразличимости) предсказуемый процесс (M)GM+ такой, что M2-(M)GJl. Процедурой локализации отсюда устанавливается существование предсказуемого процесса (M) или (М, М) из класса У+, называемого квадратической характеристикой М, такого что M2-(M)G GJl\0r. Из этого результата непосредственно выводится, что квадратическая характеристика (М, N) может быть определена формулой

< М, N) < M + N, MArN ) - < M-N, M-N)).

Фундаментальным примером непрерывного квадратично интегрируемого мартингала является винеровский процесс W=

126: = (Wt)t^o, определяемый на некотором стохастическом базисе SS= F, Р).

Определение 2. Винеровский процесс W на есть согласованный непрерывный процесс с Wo = O, O2(Z)=EWi2, EWi = O, f>0, и Wt-Ws не зависящих от Fi, 0<s<;f.

Если дисперсия a2(t)=t, то W называется стандартным винеровским процессом.

Винеровский процесс W является квадратично-интегрируемым мартингалом, квадратическая характеристика которого <W>t = e2(t).

§ 7. Разложение локальных мартингалов

1. Определение 1. Два локальных мартингала MuN называются ортогональными, если их произведение MNGJ[\0c. Если М, NGg?2, то это определение равносильно тому, что (.M1Ny= 0, что во многом и объясняет термин «ортогональность» в общей ситуации.

Определение 2. Пусть Jttoc — класс непрерывных (т. е. с непрерывными траекториями) локальных мартингалов. Локальный мартингал N называется чисто разрывным локальным мартингалом (NGJlfoz ), если N ортогонален любому непрерывному мартингалу М.

В общей теории случайных процессов известны следующие два разложения локальных мартингалов.

Первое разложение. Пусть а>0. Каждый локальный мартингал M допускает (вообще говоря, неединственное) разложение

Af=Af0+AT+Af",

где M', М"GJtioc Af0'=AIo" =0, при этом Af' имеет конечную вариацию и | AAf" Ka (следовательно, M"GJ@i0C).

Второе разложение. Каждый локальный мартингал M допускает (и притом единственное с точностью до стохастической неразличимости) разложение

M = Af0+Afc+Afd,

где Mo = Afo=O, M0 — непрерывный локальный мартингал ос), а Md— чисто разрывный локальный мартингал [М'ЄЛ&с).

Процесс Afc называется непрерывной составляющей Af, а Md — чисто разрывной составляющей Af.

127: II. СЕМИМАРТИНГАЛЫ. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 1. Семимартингалы. Квадратическая вариация.

Квазимартингалы

1. Определение 1. Заданный на стохастическом базисе &= (Q,ST, F=(STt)t>0, Р) согласованный случайный процесс X= (Xi)ise0 с траекториями из D называется семимартингалом (X6S), если он допускает представление в виде

Х = Х0+М+А, (3.1)

где X0 — конечно-значная У0-измеримая случайная величина, M — локальный мартингал (MGJlloc) с M0 = O и А — процесс ограниченной вариации (AGT) сА0 = 0.

В том случае, когда существует представление (3.1) с предсказуемым процессом А, семимартингал X называется специальным (XeSp). Отметим, что для специальных семимартингалов представление в виде (3.1) с предсказуемым процессом А является единственным. Часто оно называется каноническим разложением специального семимартингала. Всякий семимартингал X с ограниченными скачками, |АХ|^с является специальным и в его каноническом разложении Х = Х0+А+-М имеем |AMj^2c, |АА|^с. В частности, если X — непрерывный семимартингал, то в его каноническом разложении процессы M и А также непрерывны.
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 93 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed