Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Определение 3. Случайная мера ji оказывается целочисленной, если
a) JX(со; (OX-S1)^l тождественно;
b) для каждого Ag@(R+)®& ц(-,Л)б{0, 1,...,оо};
c) jx опциональная и 2р-а-конечна.
Примером такой меры может служить мера цх скачков согласованного процесса X с траекториями из пространства D:
(со; dt, dx) = I{AXs((A)?=0}e(s^Xs{a))dt, dx),
s
где 8(a) — мера Дирака в точке а.
Фундаментальным примером целочисленной случайной меры является пуассоновская мера.
Определение 4. Целочисленная случайная мера jx называется расширенной пуассоновской мерой, если
a) мера т(А) =Ец(А), AGffl(R+) является
о-конечной;
b) для каждого sGR+ и каждого AGffl (R+)®(g такого, что Лє (s, оо) Х? и ц(Л) <оо, случайная
величина Ji (-,Л) не зависит от о-алгебры @~s.
Мера т называется интенсивностью меры ц и если т такова, что m({t}XE) = 0 для каждого tGR+, то jx называется пуассоновской случайной мерой и к тому же однородной, если m(dt, dx) =dt~XF(dx), где F — положительная о-конечная мера на (Е, <§).
125: Нетрудно проверить, что для расширенной пуассоновской меры с интенсивностью т ее компенсатор v(w; ¦)=т(-).
Другим примером целочисленной случайной меры является мера ?<T'x) мультивариантного точечного процесса
(Т, Х)=(Тп, X„)n>h
определяемая формулой
1-і (со; dt, dx)=]? I (Tn < ос) е{Тп<хn)(dt, dx),
7Z>1
где (Tn)nssI — марковские моменты такие, что Ti>0
7„<7n+1 на {7„<оо} и Тп+1 = Тп на {Г„ = оо},
a Xn — случайные элементы со значениями в Е, обладающие тем свойством, что
XnGE на (TnCoo) и Х„ = б на {Тп = оо},
где б — некоторая «фиктивная» точка, не принадлежащая E и GSFt п для всякого CG<o .
§ 6. Локально квадратично интегрируемые мартингалы. Квадратическая характеристика
1. Пусть M2 и ^foc — классы квадратично и локально квадратично-интегрируемых мартингалов. Если M и N принадлежат классу то им можно поставить в соответствие предска-
зуемый процесс, обозначаемый <М, АО, принадлежащий классу T и такой, что MN—(М, N)GJhoc.
Этот процесс <М, N>, называется предсказуемой квадрати-ческой ковариацией или квадратической характеристикой пары (М, N).
Если MGffi2, то согласно разложению Дуба—Мейера применяемого к субмартингалу M2 найдется (и притом единственный с точностью до стохастической неразличимости) предсказуемый процесс (M)GM+ такой, что M2-(M)GJl. Процедурой локализации отсюда устанавливается существование предсказуемого процесса (M) или (М, М) из класса У+, называемого квадратической характеристикой М, такого что M2-(M)G GJl\0r. Из этого результата непосредственно выводится, что квадратическая характеристика (М, N) может быть определена формулой
< М, N) < M + N, MArN ) - < M-N, M-N)).
Фундаментальным примером непрерывного квадратично интегрируемого мартингала является винеровский процесс W=
126: = (Wt)t^o, определяемый на некотором стохастическом базисе SS= F, Р).
Определение 2. Винеровский процесс W на есть согласованный непрерывный процесс с Wo = O, O2(Z)=EWi2, EWi = O, f>0, и Wt-Ws не зависящих от Fi, 0<s<;f.
Если дисперсия a2(t)=t, то W называется стандартным винеровским процессом.
Винеровский процесс W является квадратично-интегрируемым мартингалом, квадратическая характеристика которого <W>t = e2(t).
§ 7. Разложение локальных мартингалов
1. Определение 1. Два локальных мартингала MuN называются ортогональными, если их произведение MNGJ[\0c. Если М, NGg?2, то это определение равносильно тому, что (.M1Ny= 0, что во многом и объясняет термин «ортогональность» в общей ситуации.
Определение 2. Пусть Jttoc — класс непрерывных (т. е. с непрерывными траекториями) локальных мартингалов. Локальный мартингал N называется чисто разрывным локальным мартингалом (NGJlfoz ), если N ортогонален любому непрерывному мартингалу М.
В общей теории случайных процессов известны следующие два разложения локальных мартингалов.
Первое разложение. Пусть а>0. Каждый локальный мартингал M допускает (вообще говоря, неединственное) разложение
Af=Af0+AT+Af",
где M', М"GJtioc Af0'=AIo" =0, при этом Af' имеет конечную вариацию и | AAf" Ka (следовательно, M"GJ@i0C).
Второе разложение. Каждый локальный мартингал M допускает (и притом единственное с точностью до стохастической неразличимости) разложение
M = Af0+Afc+Afd,
где Mo = Afo=O, M0 — непрерывный локальный мартингал ос), а Md— чисто разрывный локальный мартингал [М'ЄЛ&с).
Процесс Afc называется непрерывной составляющей Af, а Md — чисто разрывной составляющей Af.
127: II. СЕМИМАРТИНГАЛЫ. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Семимартингалы. Квадратическая вариация.
Квазимартингалы
1. Определение 1. Заданный на стохастическом базисе &= (Q,ST, F=(STt)t>0, Р) согласованный случайный процесс X= (Xi)ise0 с траекториями из D называется семимартингалом (X6S), если он допускает представление в виде
Х = Х0+М+А, (3.1)
где X0 — конечно-значная У0-измеримая случайная величина, M — локальный мартингал (MGJlloc) с M0 = O и А — процесс ограниченной вариации (AGT) сА0 = 0.
В том случае, когда существует представление (3.1) с предсказуемым процессом А, семимартингал X называется специальным (XeSp). Отметим, что для специальных семимартингалов представление в виде (3.1) с предсказуемым процессом А является единственным. Часто оно называется каноническим разложением специального семимартингала. Всякий семимартингал X с ограниченными скачками, |АХ|^с является специальным и в его каноническом разложении Х = Х0+А+-М имеем |AMj^2c, |АА|^с. В частности, если X — непрерывный семимартингал, то в его каноническом разложении процессы M и А также непрерывны.
