Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Xtk— Xt^i,. .., Xt1 — Xt1, Xtl — Xt0
180: с todiC . . . <Ctk, образуют совокупность независимых случайных величин.
Всякий процесс X с независимыми приращениями может быть представлен в виде
Xt=At+Yt,
где a=(at)t^о — детерминированная функция (Лей), вообще говоря, локально неограниченной вариации, а У=(У()<з»о — процесс с независимыми приращениями, для которого при любом XdR функция
gf(b) = Eeifcy', t> 0, (4.43)
имеет как функция от t локально ограниченную вариацию. Поскольку детерминированная компонента А не представляет вероятностного интереса будем во всем дальнейшем считать /Ii=O и значит рассматриваемый процесс X с независимыми приращениями будет предполагаться таким, что соответствующая функция gt(X) = gt(X), O= 0, имеет локально ограниченную вариацию.
В этом предположении устанавливается, что характеристическая функция
?,(*,) = Eeiwr'
есть решение (в классе функций из D) уравнения (X — фиксировано)
dgt(X)=gt_(X)dGt(X) (4.44)
с
t
Gt{K) = iXBt — ~ Ct+ J J (el^ — \ — iXh(x))v(ds,dx), (4.45)
О E1
где
B=(Bt) — функция локально ограниченной вариации, ?o = 0; C=(Ct)—непрерывная неубывающая функция, C0 = O; V([О, ОХ-4) = Ep([О, t)XA), ар — мера скачков процесса X, т. е.
р([0, t]xa)= 2 цьх,єа)і (axs^o), (4.46)
0<s<*
axs = xs- xs_,
t
причем J^* (X2Al) v(ds, dx)< oo.
O E1
Решение уравнения (4.44) есть так называемая обобщенна экспонента <к (G(X))t, т. е.
gt (X)=S(0(Х% = е°'<%) П (І-гЛОЛМ)«-^- (4.47)
o<s</
181: В том случае, когда исходный процесс является непрерывным по вероятности (равюсилько — нет разрывов в фиксированные моменты времени как, скажем, у процесса X1 = 2 Ы, то В, С, v
непрерывны по t и характеристическая функция gt(М принимает вид
gt(%) = eGlW, (4.48)
поскольку тогда AG, (A)=O.
Если, наконец, рассматриваемый процесс с независимыми приращениями является к тому же процессом с однородными приращениями, то
Bt = bt, Ct = Ct, V {dt, dx) =dtF(dx),
где c> 0, ^ (X2Al)/7^.*:), и тогда
* с+((Si^-I-IM(X)FidX)]
gt(X) = e 1 2 \ (4.49)
что есть не что иное, как представление Леви-Хинчина для характеристической функции однородного процесса с независимыми приращениями.
В аналитической теории вероятностей изучение свойств случайных процессов осуществляется путем прямого исследования их распределений. При этом метод характеристических функций является мощным средством исследования, особенно для таких процессов как, скажем, процессы с независимыми приращениями. Однако, как уже отмечалось, переход к более сложным процессам не дает возможности эффективно использовать метод характеристических функций.
2. Это обстоятельство заставляет искать другие пути исследований, один из которых основан на идеях потраекторного изучения случайных процессов, основываясь на стохастическом исчислении.
Поясним основную идею, используемую во всем дальнейшем, на примере процессов с независимыми приращениями. Оказывается, что всякий процесс с независимыми приращениями может быть представлен в следующем виде
і t
^ = ^0 + ^ + ^+55 A(x)rf(ti-v)+$ 5 (x-h(x))d\i, (4.50)
0 E1 0 E1
где B=(B1) —это в точности та функция локально ограниченной вариации, которая входит в формулу для характеристической функции, Xc=(Xtc)—непрерывный гауссовский процесс с независимыми приращениями, (х — мера скачков и v(dt,dx) = = Е| і (dt, dx). Представление (4.50), называемое каноническим, в случае h (х) =xl (IXI ) принимает вид
/ t
Xt = X0+Bt +Xct + ^ ^ xd(p-v) + ^ ^ xd\L, (4.51)
О IxKi 0
из которого следует, что B=(Bt) естественно назвать трендом t
процесса X, член ^ ^ xd[i характеризует «большие» скачки у б и>1
процесса X; X0 — это непрерывная мартингальная составляющая
t
(поскольку Xе — непрерывный мартингал), а ^ Jj xd(^—v) — скач-
0 |*|<1
ко-образная мартингальная составляющая (поскольку этот процесс есть чисто разрывный мартингал).
Обозначим Ct=DXtc и назовем совокупность объектов T= (В, С, v)-
триплетом характеристик процесса с независимыми приращениями.
Этот триплет T состоит из детерминированных объектов. При этом C=(Ct)tsaо — неубывающая непрерывная функция, C0=O; B=(Bt)tss0 — функция локально ограниченной вариации со свойством, что B0 = 0,
ABt = fh(x) V ({0, dx);
v=v (dt, dx) —мера на такая, что
v(/?+ X {0)) = 0, V(IO)X^1X=O,
j (I Jc|'2Al)v(rfs, dx)<cc, t> 0.
(0,<]X?l
Весьма примечательно, что любой триплет T= (В, С, v) объектов со сформулированными свойствами, однозначно определяет в пространстве (D, S)) вероятностную меру P такую, что канонический процесс Xt(a)=a(t), a6D, является (относительно этой меры Р) процессом с независимыми приращениями, для которого триплет T в точности совпадает с исходными. (Понятно, что этот результат есть обобщение того факта, что безгранично делимое распределение однозначно определяется его характеристиками (Ь, С, F)).
Доказательство этого факта основано на том, что рассматриваемая задача равносильна решению так называемой мартингальной проблемы, состоящей в следующем. Образуем процесс
