Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
8) Д(ЯоМ) = ЯДМ;
9) если HeLL(M) и KeLL(HoM), то Kc(HoM) = (К НУ М;
10) если М, NeML и HeLL(M), KbL\0C(N), то < Я°М, /C=N > =(HK)° { М, N )
2. В случае определения стохастических интегралов HoX по семимартингалу на класс «интегрантов» H приходится накладывать такие ограничения, которые дали бы возможность одновременно определить интегралы HoM и HoA с сохранением естественно предъявляемым к ним требованиям (согласованность, линейность, ...). Это удается сделать (используя формулу (3.2) как определение HoX), если потребовать, чтобы Я был предсказуемым и локально ограниченным процессом.
TeopeiMa 3.15'. Пусть X — семимартингал. Тогда отображение определяемое формулой
і H у\ если Я = Г/10Ь
(H.X)t = \Y{Xsfxt-XrAt), если H = Г/,О3-4) для Не$, может быть продолжено на класс всех локально ограниченных предсказуемых процессов Я. Это продолжение также,
обозначаемое H-X ( j HsdXs, j HsdXA и называемое стохас-
VO (О,-] J
тическим интегралом от Я по семимартингалу X, обладает следующими свойствами:
1) HoX — согласованный процесс с траекториями из D;
2) HHoX линейно;
3) если последовательность (Hn) предсказуемых процессов сходится поточечно к пределу H И I Я" I где К — некоторый
P
локально ограниченный предсказуемый процесс, то HnoXt-+ HoXt для всех t?R+;
9* 131 Интеграл HoX обладает к тому же свойствами:
4) H0X— семимартингал;
5) если xGM\oc, то HoXGMioc, если XGT, то HoXGT;
6) Х""Н°Х линейно;
7) (Н°Х)0 = 0, HoX = H- (X-X0)]
8) А(Н°Х)=НАХ.
3. Интересно отметить, что в том случае, когда подлежащий интегрированию процесс H является непрерывным слева, интеграл может быть определен как «предел Римановских сумм».
Именно, пусть т=(т„)—последовательность марковских моментов таких, что то=0, supT„<;°° и т„<Стл+і, если т„<С°°.
Tl
Назовем величину
п
т — римановской аппроксимацией интеграла (HaX)t.
Будем говорить, что «двойная* последовательность (т„)л>1 = — ((т (п, т)т>\)п>\, есть римановская последовательность, если
sup [т (п, т + 1)Д^ — т (ri, m)f\t\->0, п^оо.
т~> 1
Теорема 3.16. Пусть X — семимартингал, H — непрерывный слева согласованный процесс и (хп)-п>\ — римановская последовательность. Тогда Tm — римановские аппроксимации Tn(HcX) сходятся к Н°Х по вероятности равномерно на каждом компактном интервале:
sup I хп (HoX)s — т (HoX)s І І-0.
4. В II. § 1 были определены квадратические вариации [X, X] и ковариации [X, У] семимартингалов X и Y и указаны ряд их свойств. Имея определение стохастического интеграла по се-мимартингалу, можно установить справедливость следующей формулы:
[X, У] = XY-X0Yо-Хs-Y-Y^X.
Объяснение терминологии для [X, X] и [X, Y] как квадратичес-ких вариации и ковариации проистекает из следующего свойства.
Пусть (т„)л>1 = ((т (п, m))m>i)n>i есть римановская последовательность и
Sxn (X, ^)( = 2 (А"г(я,т + і)Лг — Хх(а,т)м)(Ут(п,т+1)л* ~
m> 1
Тогда процесс SXn (X, У) сходится к процессу [Ar, Y] по мере равномерно на каждом компактном интервале.
132: § 3. Формула Ито
1. Пусть Di f и Dijf есть частные производные
В-- функции /=/(xl.....
Теорема 3.17. Формула (замены переменных) Ито. Пусть X— (Xі, ..., Xd) есть d-мерный семимартингал (т. е. каждый из процессов Xі, i=l, ..., d является семимартингалом) и f = —f(x\ ..., xd)—функция класса С2. Тогда процесс f(X) является семимартингалом и
J IX,)--, f IXr) +
Л + І
i<d і, JKd
+ 2 DJ(XJ) + \ 2 Duf (X Jo ( X«, X* ) ,+
+ 21~f (¦Xs) - f (xs-) - 2 DJ (XsJ A*!]. (3.5)
L i<d
Замечание. В случае дискретного времени формула (3.5) превращается в тривиальное тождество:
f (Xn)=* f (X0)+ 2 2 Dif (X^)(Xin-X1m-I) +
1 </и<л Kd
+ 2 f/W»)-/Wm-i)-2 Dif (Xm-,) (Х'т-Х1т-г)1 (3.6)
l<m<n L i<d
Приведем ряд примеров на применение формулы Ито. Пример 1. Если X и У— семимартингалы и f(x, у)—ху, то из (3.5) следует, что
П, (3.7)
поскольку
[X, К]= ( ^c, Yc ) +2 ЬХ,ЬУ„
s<-
В частности,
Xt* = Xo2+2(X-°X)t+[X, X]t. (3.8)
Пример 2 (уравнение Долеан-Дэд). Пусть X — семимартингал. Рассмотрим уравнение Долеан—Дэд
t
Yt = 14-j Ys -dXs (3.9)
о
или в «дифференциальной» форме
dY=Y-dX, F0=I-
Это уравнение имеет и притом единственное согласованное решение <% (X) из класса D, которое является семимартингалом
133: и задаваемое формулой
X —Л" — — ( хс) t
g(X)t = e' ° 2 П (3.10)
•S«
(Функция & (X) носит название стохастической экспоненты). То, что &(X) есть решение уравнения (3.9) проверяется непосредственным применением формулы Ито к произведению VtUt двух семимартингалов
Ut=Jl (l+AXs)e~^.
s<t
§ 4. Конструкция стохастических интегралов по случайным мерам
1. Изучение скачкообразных компонент локальных мартингалов и семимартингалов требует наряду с интегралами типа W^p и (по случайным мерам р и их компенсаторам v;
см. I § 5) рассмотрения также интегралов типа W^ (р—v) по «компенсированным» мерам р—v.
«Наивным определением» интеграла (р—v) могло бы служить его определение как разности W7^p—W^v. Однако такое «определение» страдает тем недостатком, что дает возможность интегрировать слишком узкий класс функций W.
