Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Определение. Решением семимартингальной проблемы, связанной с (^r0, X) и (Po; В, С, v) называется вероятностная мера P на (QtIF) такая, что
(a) PI^o = Po
214: (в) X — есть семимартингал на стохастическом базисе (Q, SF, F, Р) с характеристиками T= (В, С, v) (относительно заданной функции урезания h = h(x)).
Множество всех решений (т. е. мер Р) обозначим S(F~o, XI P0; В, С, V). Если положить
X (h)=x-4Si^X s-h^xs)], M(H) = X(h) — Xu- В,
s<-
то как отмечалось в теореме 4.11 вероятностная мера
Х|Р0; В, С, v) в том и только том случае, когда Р[?Г0 = Ро и
каждый из процессов
AI(A), AI2(A)-C, g*nx — g*v
является локальным мартингалом g&+(R+).
Из этой эквивалентной формулировки «семимартингальной» проблемы легко выводится, что множество S (Fo, XI P0; В, С, v) является выпуклым множеством.
Приведем ряд результатов относительно существования и единственной семимартингальных проблем.
1) Процессы с независимыми приращениями. Если (В, С, v) —детерминированное и грвероятностная мера на R, то в каноническом представлении соответствующая семимартингальная проблема S(a(Xo), Х\г|; В, С, v) имеет и притом единственное решение.
2) Диффузия со скачками — это семимартингал X на стохастическом базисе (й, SF, F, Р), для которого
t
Bt(<a)=^b(s, Xs(w))ds,
о t
Ct(a)=^C(s, xs(u))ds,
о
v(co; diXdx)=diXKt(Xt(a); dx),
где b = b(s, x) —борелевская функция, c(s, x) —неотрицательная борелевская функция и К,(х, dy) —борелевское переходное ядро с К.(х, (0})=0.
Если v=0, то X называется диффузией; если Ь, с, К не зависят от s, то X называется однородной диффузией со скачками.
Построение диффузии со скачками может быть осуществлено, если обратиться к рассмотрению решений стохастических дифференциальных уравнений.
215: Пусть на стохастическом базисе 38'= (?У, S~', F', P') заданы: ^==(^)^,0-стандартный винеровский процесс, я=(я(dt, dx)t?Rh,X?Eі — пуассонозская случайная мера на R+X.E1 с интенсивностью q(dt, dx) =dt®F (dx), где F—положительная а-конечная мера на (Е\ 38 (Е^)). Пусть также заданы (борелевские) коэффициенты:
? = ?(f,*), i = 6 = 6(i,x,z), т+, XtF, z?El,
и начальная случайная ^r0' — измеримая величина go-
Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение
= Vt)dt + i(t, Yt)dWt + h~-b(t, Yt_, z)n(dt, dz)-.
— <7(dt, dz) + h'^(t, Yt_, z)ix(dt, dz), (4.109)
где h=h(x) — некоторая функция урезания и h'(x)=x—h(x) и Yq=g. (Заметим, что если мера я имеет скачок в точке (t, z), то AYt = S (t, Yt., z)).
Для уравнений (4.109) можно рассматривать два типа решений: сильные решения (или решения — процессы) и слабые решения (или решения — меры).
Оказывается, что множество всех слабых решений уравнения (4.109) с сс(?о)=г) совпадает с множеством S(a(F0), У|т); В, С, v), где
? = ?, C = f, Kt(y, A)=^/A4o}(o(t,y, z))F(dz)(4.llO)
E1
(Этот результат допускает и определенное обращение, т. е. по С и К можно построить Y и б, удовлетворяющие (4.110.)
3. Точечные процессы. Точечный процесс N=(Nt)i>0, заданный на стохастическом базисе (Q, Sr, F=(^Fi)i5a0), есть согласованный процесс вида
Nt=ZI(Xn^t), (4.111)
где (Tn)nsaI — марковские моменты и T0=O, т„<тп+ь если
Т„<оо.
Пусть Nt=At-\-mt — разложение Дуба—Мейера, где A = -(At) I5aO — предсказуемый возрастающий процесс (или — компенсатор процесса N). Если h=h(x) функция урезания, то
B(h)=h(\)A, C=0, V(dt, dx)=dAt®Ei(dx).
Оказывается, что случай точечных процессов замечателен тем, что соответствующая семимартингальная проблема имеет и притом единственное решение, если в качестве пространства Собрать множество всех считающих функций, быть может и «взрывающихся», т. е. с Iim Tn=S^
216: II. ПРИМЕНЕНИЯ: ПРИНЦИП ИНВАРИАНТНОСТИ И ДИФФУЗИОННАЯ АППРОКСИМАЦИЯ
§ 1. Принцип инвариантности для стационарных и марковских процессов
1. Стационарные процессы. Пусть I==(Ift)- «<ii<« — стационарная в узком смысле последовательность или ?=(1/)гея' — измеримый стационарный в узком смысле процесс (в случае непрерывного времени).
Принцип инвариантности для g означает, что последовательность случайных процессов Xn = (Xtn)t>o,
или в случае непрерывного времени
nt
\lsds (4Л13) о
слабо сходится в топологии Скорохода (см. I. § 2) к однородному гауссовскому процессу с независимыми приращениями, в частности, к винеровскому процессу W=(Wi)j^0.
Будем считать, что ? задан на полном вероятностном пространстве (S3, F, Р) с выделенной на нем фильтрацией
F1 = H)^
в случае Дискретного времени
^ = ^(1*, - оо <k<t)\jjr, в случае непрерывного времени
#1= П — оо < S < /-!-e}\/jV,
е>0
где Jf — система множеств из Sr нулевой меры Р.
Обозначим ст-алгебру инвариантных множеств, отвечающих 1 (напомним, что P — совокупность множеств AeF таких, что существует измеримое множество В в пространстве траекторий ? и для всех t
А = {<о: (|;(o))we?} или в случае непрерывного времени
А = {(й : (is(<o))s>(e?}
Будем также считать, что ст-алгебра Ji пополнена множествами из ST нулевой меры Р, и заметим, что для любого t
