Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 1.19. Пусть для некоторого c>? при всех t, X
( IMP+ 1 ft I2M*) < с (1+sup I2).
Слабое решение уравнения (1.19) существует в каждом из следующих случаев:
1) функции а и b при каждом t непрерывны по X ([31]^ [40], [44]);
2) функция о — марковская равномерно невырожденная (теорема 1, § 6, гл. II [23]);
3) при d>2 и некотором . .., d— 1} функции a, b непре. рывны по (JC1, ...,xk), матрица (о1'')\'2ь+\>1*=1 марковская и равномерно невырожденная ([49], [7]);
Доказательство. Прежде всего отметим, что поскольку коэффициенты о и b имеют линейный рост, то без ограничения общности их можно считать ограниченными (см. гл. 10 [51]).
В каждом из случаев 1), 2), 3) идея доказательства одна и та же — приблизить о и b «хорошими» функциями о" и Ьп, для которых существует сильное решение Xn уравнения
dXnt =Ont (Xn)dWt+bnt (Xn)dt, (1.20;
56 и затем перейт.і к слабому пределу его распределения по я.
1°. Пусть выполнено 1). Для X?C и t~>О обозначим XAt функцию, принимающую в момент s значение XsAt. Возьмем
натуральное п и положим tn = ^- \nt\ (скобки [ ]обозначаю-т целую
часть), a4(X)=a,(XAtn). ЬЇ(Х) = Ь,(ХА,Я), t>0. Уравнение 1.20 имеет сильное решение Xn, поскольку его коэффициенты <почти не зависят» от X. Проверим, что «характеристики-) t t
[ b"(Xn)ds, j a?(Xn) ds процесса Xn сходятся к предельным:
о о
t t
\bs(X)ds, \as(X)ds.
о о
Пусть ZfeC— компакт. При фиксированном s ограничение функции Ь, на К дает ограниченную и равномерно непрерывную функцию. Обозначим Vs модуль непрерывности этой функции. Тогда при XgK
і t
\\bt-bas\(X)ds=l\bs (X)-bs (ХМп) I ds < о о
t
< f VЛ sup I Xu — Xs I) ds. о «Є1*л-*1
В силу теоремы Арцела—Асколи (добавление 1 [1]) sup I Xu- Xsn I->0 при оо
Bg[i„, il
равномерно по XGK. Отсюда с помощью теоремы Лебега о мажорированной сходимости выводим, что правая часть неравенства стремится к нулю при ті оо равномерно на К, а значит, левая тоже. Аналогично і
j \as—ans\(X)ds->u при га-> оо о
равномерно на К. Согласно варианту предельной теоремы для семимартингалов (см. гл. 4), это значит, что распределение решения Xn имеет предельную точку и она является решением (а, Ь) —проблемы мартингалов.
2°. Пусть выполнено 2). Согласно следствию к теореме 1.18, можно считать 6=0. В силу марковости ст, существует боре^ левская функция ом на [0, oo)X?d такая, что Ot(X) = = Osi(t,Xt). Фиксируем t>О и построим последовательность непрерывных функций о", сходящуюся к Ом в Ld+i([0, ^JX-Ed). Пусть Xn — решение (1.20). В силу оценки Н. В. Крылова
5 T (теорема 4 § 3 гл. II [23]) t
E f jj a M — CTri |l (5, X") ds < const • | \aM — an \\L , 0 d+1
где константа не зависит от п. Заканчивается доказательство, как и в случае 1°, с помощью предельной теоремы для семимартингалов (см. гл. 4).
3е. В случае 3) доказательство получается комбинацией доказательств в случаях 1) и 2).
Теорема 1.20. Пусть функции ст и b локально ограничены и на ограниченных подмножествах С удовлетворяют одному из условий:
1) для некоторых L>0 и неубывающей непрерывной функции К : [0, oo)-v[0, 00) при всех t, X, Y
У Ct(X)-Ot (K)IiM-1 b, (X)-bt(Y)f< 1
<§\Xs-VsldKs + L\Xt-yt\; о
(теорема 4.6, § 4, гл. 4 [26]);
2) а-—марковская, матрица ~ ао* равномерно невырождена и пр і всех XdEd и Г>0
Iim sup л;) — aM(s, y)|| = 0;
У-+Х ig[0,r]
(гл. 7, [51]);
3) d= 1, ст — марковская, матрица j 00* равномерно невырождена (упражнение 7.3.3 [51]);
4) d =2, о — марковская, матрица -^ocr* не зависит от вРе"
мен и и равномерно невырождена (упражнение 7.3.4 [51]);
5) ст—марковская, равномерно невырождена и кусочно постоянна по отношению к некоторому разбиению Ed на конечное число многогранников [20].
Тогда решение уравнения (1.19) слабо единственно. Доказательство единственности в случаях 2)—4) в общих чертах основано на следующих идеях. Достаточно установить, что для любой гладкой финитной f математическое ожидание
OO
E (Xi) dt
о
имеет одно и то же значение для всех слабых решений уравнения (1.19) с начальным условием Х0—х. Обозначим его и(х), x?Ed. Опираясь на формулу Ито, эту задачу можно све-'
58 <сти к вопросу о разрешимости уравнения
d J
в классе Cb2. Факт разрешимости устанавливается методами теории возмущений.
§ 3. Дифференцирование решений СДУ по начальным данным
1. Дифференцирование по начальным данным является частным случаем дифференцирования по параметру, но вынесено в заглавие параграфа ввиду его важности. Здесь известны два типа теорем: дифференцирование в нормах Lp и поточечное. Первое проще выводить, и оно требует меньшей гладкости коэффициентов. Второе требует несколько большей гладкости, и это связано с тем, что вывод основан на теоремах вложения. Дальнейшее изложение следует в основном, работам Н. В. Крылова [23] и Ю. Н. Благовещенского н М. И. Фрейдлина [2].
Определение 1.4. Обозначим через S[0, T](S[Q, T-, Ed]) пространство действительнозначных (соответственно, ii-мерных) случайных процессов х, на [0, Т], измеримых по (t, ш), и имеющих при всех с/>1 конечную норму
