Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
sup II b (,к, E0) Jlp < со , р >2, ^^
^ ess sup Il E (b (X, lt)—b (x) I ЗІ) Wpdt
РУ2
20 2 (И a |[p=(E I a |р)1/р, где sup и ess sup берутся по множеству {л::| ;c|<sup | |}, Xt-решение Дифференциального уравне-
ния (4.130).
Теорема 4.37. Пусть |=(|(Ьен— стационарный в узком смысле эргодический процесс, для которого выполнены условия (4.137) с некоторым р>2, а функция b = b(x,y) непрерывна по совокупности переменных, при каждом у дифференцируема по X, функция bx=bx(x, у) равномерно ограничена и удовлетворяет условию Липшица по х равномерно по у. Тогда
Y^ Г,
где Y=(Yt)ts,о — диффузионный процесс, определяемый стохастическим уравнением Ито
t і Yt = \a(Xs)Ysds+-\°(Xs)dWs о о
относительно винеровского процесса W = (Wt)t>a, где
а(х) = ЕЬх(х, |0),
( со -jl/2
a (х)= |2 jj [Е (Ь (х, Ii) b (X, I0)) - b\x)\ rfsj ,
Xt — решение уравнения (4.130).
Доказательство этой теоремы опирается на теорему 4.36 и следующее обобщение принципа инвариантности для стационарных процессов.
Теорема 4.38. Пусть заданы:
1) измеримая по паре переменных функция b = b(x,y), удовлетворяющая условию Липшица по х равномерно по у,
2) Z=(Zt)ts.о — непрерывная функция,
3) стационарный в узком смысле эргодический процесс ? = = (h)wi, удовлетворяющий условиям (4.137) с данной функцией b = b(x,y) при некотором р>2, в которых sup и ess sup
берутся по множеству {х : |xj^sup \Zt\}.
1> о
Для є>0 положим
і
Y; = -U Г [Ь (Zs, |,/е) - Eb (Zs, |0)] ds. У є J
о
Тогда при е->-0
237: где Y=(Y1)1^0 стохастический интеграл по винеровскому процессу
t
Y, = Jj о(Zs) dW„
о
I со 1 1/2
о(г) = {2<[[Е(0(г,Ы^(г, ))-(Е6(г, I0))2]dt\ .
I 6 '
Пример 2. Рассмотрим второе приближение в модели массового обслуживания (см. § 2). Определим процесс Xn = (Xt )/>О из соотношения
q? = qi + -Lxh
У п
S
Если Х"~>Х, то говорят, что в модели массового обслуживания имеет место второе приближение очереди порядка
С помощью Теоремы 4.36 в предположении, что функция / = / (х) непрерывно Дифферещируема и ее производная удовлетворяет условию Липшица, Х"->Х0 существует второе приближение очереди п-ор.ядка —U- При этом X решение стохасти-
V я
ческогс уравнения Hjo
/ t Xt=X0-\(% + f (qs)) Xsds + J {X (1 ~qs) + f (qsf2dWs о о
относительно винеровского процесса W=(Wt)ts,о. qt— решение дифференциального уравнения (4.134).
3. Принцип усреднения в моделях с диффузией. Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение с малым параметром ?>0
dx] = sb(xei,lt)dt + VTo(xevlt)dWl, ^l = X (4.138)
относительно винеровского процесса W=(Wt)t^a независящего от измеримого случайного процесса I= (It) оо. удовлетворяющего эргодическому свойству (4.128), Замена времени t/г приводит к стохастическому уравнению Ито для Xte==xt/t'
dXe = b(X% It,,г)dt + о(Xep It/e)dW*, Xe=X0
относительно винеровского процесса We — V&WtiR.
Предположим, что функции b = b(x,y) и о = а(х, у) непрерывны по совокупности переменных, удовлетворяют условию Липшица и линейного роста по х равномерно по у.
238: Обозначим
6 (X) = Jj b(x, y)p(dy)
" wa (4-139)
a (X)= JJ o2(x, y)p(dy)
С помощью теоремы 4.36 устанавливается принцип усреднения:
S
А'Е->Л\ в->0,
где X = (Xt)n o- диффузионный процесс, определяемый^ стохастическим уравнением Ито с «усредненными параметрами b = b(x) и Ъ=о(х)> (см. (4.139)):
dXt = b(Xt)dt + b(Xt)dWt, X0 = Xu (4-140)
относительно некоторого винеровского процесса W =(Wt)^Q.
§ 4. Диффузионная аппроксимация для систем с физическим белым шумом
1. При рассмотрении физических систем часто возникает интерес к изучению свойств случайного процесса, определяемого обыкновенным дифференциальным уравнением
xt=a(t, xt) + b(t, xt)Wt,
где Wt — физический белый шум. В такой ситуации естественной является аппроксимация процесса (xt) некоторым диффузионным марковским процессом, целесообразность которой оправдывается тем, что исследование свойств диффузионного марковского процесса, как правило, проще, нежели изучение свойств процесса (xt).
В связи с этим рассмотрим последовательность Xn = (Xnt)i>о, п. > 1 решений дифференциальных уравнений
Xnt =a(t, Xl) + b(t, XDWnt, X0^Xq, (4.141)
где Wn = (Wnt)t^о, п~> 1 —последовательность физических белых шумов.
Обозначим
t
Wnt=^jWfds о
и предположим, что последовательность случайных процессов W = (Wf )i>0, п> 1 слабо сходится в топологии Скорохода к
239: aW=(aWt)i>0, где W= (W,), >0 — винеровский процесс, о —кок станта.
В этом случае под аппроксимацией процессов Xn, rC^ 1, естественно понимать слабую сходимость
S
Xn^X
к диффузионному процессу X, определяемому стохастическим уравнением Ито относительно винеровского процесса W. Имеются два подхода для такой аппроксимации. 2. Первый подход основан на идее виброкорректности Красносельского и Покровского [16], заключающейся в том, что Xn является непрерывным отображением Wn. Сформулируем соответствующий результат. Теорема 4.39. Пусть
1) a = a(t, X) —непрерывная по совокупности переменных функция, удовлетворяющая условиям Липшица и линейного роста по X равномерно по
