Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
(0«)<>о является Рц-тривиальной (Pm. = j P^p(dx)), т. е. выполнено условие эргодичности.
Тогда, если f = f(x), xGE, — ограниченная борелевская функция вида
где si- — слабый инфинитезимальный оператор, g и g2 принадлежат области определения то процессы
nt
Xf=-L^i f(Vs)ds, t> О, Vn J
относительно меры P11 сходятся (Х"->Х) к процессу X = J^fiWt где W—стандартный винеровский процесс и
? = -2 \g(X)stg(X) р(dx).
VI. Предельные теоремы для стационарных процессов. Пусть K= (Kt) f~»o — эргодический стационарный процесс, SFt = = O(Ys, s^t),
РЄ[2, оо J, ?є[1,21, у+у = 1
20 2 я
(II МІР <00,
OO
Kll E (Ki IPG)\\qdt< 00. Io
Тогда процессы
nt
Xnt=-X- \ Yds, t> 0. \'п J3 ' о
Z(R-)
в смысле сходимости конечномерных распределений (X"—X), сходятся к процессу X = YcW, где W — стандартный винеровский
процесс, с = 2 J E(K0Ki)Cf/,
о
S
Более того, если р = 2, то Xn'-*X.
7. Что известно относительно сходимости семимартингалов Xn к произвольному процессу с независимыми приращениями X?
Если предположить, что g(X)t не обращается в ноль, то метод стохастических экспонент снова применим и доказывается следующий результат.
Теорема 4.17. Пусть выполнены условия
(?) вАвь tes, (ч) C^Ct, tes, (б) g*y?*g*vt, ies, gee,,
P
(Sk— б) g*v«~*g*v, гДе 5 —всюду плотное множество в R+. Тогда Xа--*Х.
Относительно функциональной сходимости справедлив такой результат.
Теорема 4.18. Пусть выполнены условия
P
(Sk — ?) Вп-*В в топологии Скорохода,
(if) cnAct,
р
(Sk— б) g*vn-*g*v в топологии Скорохода, Для g?Cx. Тогда Хп^*Х.
203: Применение этих теорем к точечным процессам Xn и X с компенсаторами an и детерминированным компенсатором а приводит к следующему утверждению. Теорема 4.19. а) Если
АпАА(, teR+, 2 (АЛ)2,
s<t s<t
то Xn-^X и
р 3?
Ь) Если A"-> А в топологии Скорохода, то X" —> X.
§ 6. Относительная компактность и плотность семейств распределений семимартингалов
1. Непременным этапом при установлении результатов типе
,Tn
было установление плотности семейства {Рп} вероятностных распределений семимартингалов {Хп}, выраженное в терминах свойств триплетов Tn= (Вп, Cn, Vn), л>1.
Изложение соответствующих результатов естественно начать со следующего хорошо известного общего результата, лежащего в основе поиска простых критериев плотности семейства (Р").
Теорема 4.20. Семейство (Pn) распределений вероятностей случайных процессов Xn=(Xtn)t^0 со значениями в пространстве (D,&) является плотным тогда и только тогда, когда
(a) для любого A/GAf*={l, 2, . ..) и е>0 существуют п0 = = M0(Me) и K = K(N,e) такие, что
И>И0=>Pfsup \х1\>к)<&-,
\/<N j
(b) Для всех NeN*, Є>0, ті > 0 найдутся n0 = n0(N, є, "л) и e = e(jV, є, л)>0 такие, чао
п >/70=>Р (w'jv(Xа, 0)> л) < є, где модуль непрерывности
wA(a; e) = inf /тахяу(а; \tt_u tt))\ O = t0< ... <tr=N,
\ i<r
mi(tt-tt_x)>e\
і <r )
и w(a, /) = sup I a(s) — o.(t) |, / — интервал в f>+.
(Напомним, что подмножество А в D является относительно компактным в топологии Скорохода тогда и только тогда, когда
(1) sup sup I a (s) I < оо для всех NeN*',
ag/l s<N
(2) lim sup®' (a, 0)=0 Для pcex NeN*;
в + 0 ag/l
204: этот критерий и используется для доказательства предшествующей теоремы 4.20).
Разумеется теорема 4.20 слишком уж обща, и (в случае пространства (D, ?>)) часто пользуются следующим достаточным условием (А. Н. Колмогоров — Н. Н. Ченцов), выводимым из этой теоремы.
Теорема 4.21. Пусть
(a) последовательность {Х0П} плотна (в R)\
(b) Нтїїт Р(!Лв — Ло|>в) = 0, е>0;
б I 0 п
(c) существует непрерывная функция F на R+ и две константы 7^0, такие, что
VA >0, Vs <г < г1, XnbN*
P {\Xnr~Xl\->%, \Xn,-Xnr\>l)<-ir"[F(t)-F(s)\a. (4.87)
Тогда последовательность {X"} плотна.
Этот критерий хорошо применим, например, в случае диффузионных процессов (даже со скачками), когда все коэффициенты (параметры) ограничены равномерно по п. Но этот критерий не работает уже в диффузионном случае, когда коэффициенты не ограничены, и связано это с тем, что в этом случае «детерминированный контроль» приращений, как в (4.87), становится недостаточным.
2. По-видимому первым критерием, в котором учтена ограниченность применения теоремы 4.19, вызванная «равномерностью по п» и «детерминированностью контроля» приращений в (4.87), был критерий Альдуса, применяемый для согласованных случайных процессов Xn, заданных на стохастических базисах ^n= (Й", Tn, Fn=(^n)fss0, Р").
Теорема 4.22. Пусть для всех N&N*
limIIm sup Pn(XT — Xs\>e) = 0, (4.88)
Єі0 " SlT^nN S<T<S+0
где &N — множество всех Fn-MOMeHTOB остановки и выполнено также условие (а) из теоремы 4.21. Тогда семейство {Хп} плотно.
Сделаем ряд замечаний относительно этого критерия прежде чем переходить к его применениям.
1. Разумеется плотность семейства {Хп} никак не связана с фильтрациями F", «> 1. И ясно, что надо стремиться к тому, чтобы класс g-nN был как можно «меньше» (но так, конечно, чтобы PniZialxnS, s<t)).
