Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
[М, /4]<+Л(со)-[Ж, JWUH=[ЛІ, M]t(ЄЛсо)--[М, ЖЦЄлсо) Р-П.Н.
Тогда
[Xri, Xя], (со)=-!- [М, MU (со) =
nt nt
4 = 1
Поэтому в силу теоремы Биркгофа—Хинчина при п-*-оо Р-п. н.
[X-, Z-WE ([М, Ml I /) = /Е (Af121 /).
4. Приведенные выше результаты показывают, что успех при доказательстве принципа инвариантности тесно связан с тем, что Xn является мартингалом. В общей ситуации процесс Xn таковым не является. В связи с этим в общей ситуации метод доказательства принципа инвариантности опирается на разложение
Xn = Mn + Un, (4.117)
где Afn — квадратично-интегрируемый мартингал, являющийся процессом со стационарными в узком смысле приращениями, Un асимптотически пренебрежимый процесс.
Разложение (4.117) имеет место при некоторых условиях слабой зависимости величин и {gs, s^O} (t>0). Здесь используются следующие условия:
OO
2 Il E (IftI^o)K2 <00 (4,118)
4 = 1
или в случае непрерывного времени
OO
Jll E ^DM <00, (4.119)
о
где И сб і =
Приведем теперь вспомогательные результаты, необходимые для конструирования разложений (4.117).
Лемма 4.1. Пусть I= (|ь)-со<ь«» •—стационарная в узком смысле последовательность с Е|о2 = 02, Eg0 = O, для которой выполнено условие (4.118). Тогда при любом rC^-1
4=1
221 где
1) (уИл)л>і — квадратйчно-иятегрируемый мартингал, Mn =
п
= (m,s)*>i—стационарная в узком смысле последователь-
fe=i ность
OO i=k
мгуртингал-разностей (E(/?гА]) = О Р-п.н.) с
оо
Еот2 = а2 + 2 2 E(^g0),
A = I
оо
E(да?I?) = E (i§ j ?) +2 2 E (Ы0 \J*Y>
2) {Vn)ns>о — стационарная в узком смысле последовательность с
OO 1=1
обладающая следующими свойствами: (Vn, ?,п)п>о — стационарная в узком смысле последовательность,
1 р
sup——^v{„n 1^0.
t <Г у п
В случае непрерывного времени будем считать, что ^ (со) = = ?(8*tf>), где o = (0()t— сохраняющее меру преобразование, S1 (со) — некоторая случайная величина и стохастический базис (Q, Р) определен таким же образом, как Для
теоремы 4.30.
Лемма 4.2. Пусть 1=(1/) гея'—стационарный в узком смысле процесс с 1/(со) =1(0/0»), Е|2(со)=02, Е1(ш)=0, для которого выполнено условие (4.119). Тогда t
^sds = Mt + V0-Vt,
о
где
1) M= (Mt)t^o — квадратично-интегрируемый мартингал со свойством (4.116), являющийся версией случайного процесса M'=(Mt')t>о с
OO
M, = jj [л,(1и)-л0(1а)] du,
о
222: —опциональная проекция случайной величины |„ относительно FP (я<(Iu) =E(IuI^r(P) Р-п.н.), обладающий следующими свойствами:
со
ETW? = 2 J E (ItI0) dt, о
со
E{Mi\j) = 2^E(U0\J)dt-, о
2) Vi=(Vt)tss0— стационарный в узком смысле процесс, являющийся версией случайного процесса V = (Vt')t>0 с
OO
vi = \nt(lu)du
t
такой, что (vt, h)t>о стационарный в узком смысле процесс, sup-L|l/n,|-U, YT >0.
t<.T V п
Разложения, приведенные в ,лемках 4.1 и 4.2 позволяют установить, что
Xnt=^r- Mlntl +-L (V у1(п+])п) У п у п
([а] — целая часть а) ив случае непрерывного времени
xnt = Mnt +yj^ (K0 - vnt).
Используя теперь свойства последовательностей и процессов (Vn)n>о и (ІЛЬо (см. леммы 4.1 и 4.2), нетрудно понять, что слабые пределы последовательностей (x") и i^y^ м\п-\j и в случае
непрерывного времени (x") и ( уп mn.) совпадает.
Теорема 4.31. Пусть 1= (1й)_ос<й.<оо — стационарная в узком смысле последовательность с Ego2<oo и Eg0 = O для которой выполнено условие (4.118). Тогда
Xn-^W (У 5 — устойчиво),
где W—винеровский процесс, независящий от
( OO и/2
2 23 Теорема 4.32. Пусть ? = (g<) tm — стационарный в узком смысле процесс с Eg02< оо и Eg0 = O, для которого выполнено условие (4.119).
Тогда
Xn->t\W (JZ — устойчиво) где W — винеровский процесс, независящий от Tj =
І оо 11/2
2JE(s^ol-W • о J
При доказательстве этих теорем можно считать, что | координатный процесс и воспользоваться разложениями из лемм 4.1 и 4.2. Тогда доказательства теорем 4.31 и 4.32 является простым следствием результатов из п. 3. Переход к первоначальной формулировке осуществляется обычным образом. Если а-алгебра P содержит множества меры 0 или 1, то
Xn^aW,
1/2
где а= (іЧ2 2ЕЬЦ или а= 2 j E(\tl,)dt
1/2
в случае непрерывного времени.
5. Остановимся теперь на условиях (4.118), (4.119). Для доказательства принципа инвариантности традиционно использовались условия, выраженные в терминах сильного и равномерно сильного перемешивания a(t) и <р(^) (напомним, что
a(t) =sup I P (ЛВ)—P (Л) P (В) I,
ф(0=51ф|Р(Я|Д)-Р(Я)|,
где sup берется по всем множествам AGST0е и ?6a{gu> u^t}).
Условия, выраженные в терминах || E (|г | ||2, оказываются слабее в том смысле, что
(4Ca"2(t), UoKCt
<|2E|||0||2TV2(^ij||0||2<oo
(см. [14], [48]). Поэтому условия (4.118) и (4.119) выполнены, если
OO OO
или 2ф1/2(А)<
а в случае непрерывного времени
OO OO
\a№(t) dt <ао или J Ф 1'°-(t)dt <оо. о О
224: Поскольку a(t) и cp(t) невозрастающие функции, то выполнение указанных выше условий влечет за собой Ct(O-M)1 ф(^)-^0, t-*~ ->оо. Это означает, что J1 содержит множества меры 0 или 1. S
