Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
галов. Примеры............
§ 6. Интегральное представление локальных мартингалов § 7. Устойчивость класса семимартингалов относительно ряда пре образований .............
III. Абсолютная непрерывность и сингулярность вероятностных распределений ............
§ 1. Локальная плотность. Разложение Лебега.....
§ 2. Теорема Гирсанова и ее обобщение. Преобразование предска
зуемых характеристик..........
§ 3. Интеграл Хеллингера и процесс Хеллиигера .... § 4. Общие и предсказуемые критерии абсолютной непрерывности
сингулярности вероятностных мер.......
§ 5. Частные случаи............
Комментарий к главе 3...........
Литература ..............
Глава 4. Мартингалы и предельные теоремы для случайных процеь
сов (Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев).....
I. Теория: слабая сходимость вероятностных мер на метрических
пространствах .............
§ 1. Введение..............
§ 2. Разные типы сходимостей. Топология Скорохода § 3. Краткий обзор ряда классических предельных теорем теории
вероятностей .............
§ 4. Сходимость процессов с независимыми приращениями
6 § 5. Сходимость семимартингалов к процессам с независимыми
приращениями.............
§ 6. Относительная компактность и плотность семейств распределе
ний семимартингалов...........
§ 7. Сходимость семимартингалов к семимартингалу
§ 8. О проблеме мартингалов.........
II. Применения: принцип инвариантности и диффузионная аппрок
симация ..............
§ 1. Принцип инвариантности для стационарных и марковских про
цессов ...............
§ 2. Стохастический принцип усреднения в моделях без диффузии § 3. Диффузионная аппроксимация семимартингалов. Принцип усред
нения в моделях с диффузией........
§ 4. Диффузионная аппроксимация для систем с физическим белым
шумом ..............
§ 5. Диффузионная аппроксимация для семимартингалов с нормаль
ным отражением в выпуклой области......
Комментарий к главе 4............
Литература...............
ПРЕДИСЛОВИЕ
В аксиоматике теории вероятностей, предложенной Колмогоровым, основным «вероятностным» объектом является понятие вероятностной модели, или вероятностного пространства, как тройки (?, Sr, Р), где ? — пространство элементарных событий, или исходов, Sr — ст-алгебра подмножеств Q, объявляемых событиями, и P — вероятностная мера, или вероятность на измеримом пространстве (?2, SF). Эта общепринятая система аксиом теории вероятностей оказалась столь удачной,что, наряду с ее простотой, позволила не только охватить классические разделы теории вероятностей, но и открыла путь к развитию ее новых глав, в частности, теории случайных процессов.
В теории случайных процессов глубоко изучены различные классы процессов — построена теория процессов с независимыми приращениями, теория марковских процессов, теория стационарных процессов и др. В становлении и развитии теории случайных процессов значительным событием являлось осознание того, что построение «общей теории случайных процессов» требует введения, в дополнении к тройке (?2, Р) потока <т-алгебр (фильтрации) F =(&~t)t>o, где SFx интерпретируется как совокупность событий из 2F, наблюдаемых до момента времени t.
Именно с предположением о наличии на (?2, Sr, Р) потока F=(&~t)t>o связано возникновение таких объектов, являющихся ингредиентами теории стохастического исчисления, как марковские моменты, или моменты остановки, согласованные, или
7 адаптированные процессы, опциональные и предсказуемые о-алгебры, мартингалы, локальные мартингалы, семимартингалы, стохастический интеграл, формула замены переменных Ито и т. д.
Таким образом, стохастическое исчисление аксиоматизирует, что в основе всех рассмотрений лежит понятие стохастического базиса
Я= (Q, 9-, F= (УО^о, Р),
где (Q, Sr, Р)—вероятностное пространство, a F — некоторый выделенный поток о-алгебр.
Формирование понятия «стохастический базис» как одной из спецификаций вероятностного пространства прошло через многие этапы рассмотрения частных случаев, уточнений, обобщений и т. п. При этом ключевым здесь явилась теория стохастического интегрирования по броуновскому движению и центрированной пуассоновской мере, развитая К. Ито.
В первой главе настоящего тома дается введение в стохастическое исчисление, призванное дать представление о различных аспектах теории броуновского движения и ее связи с теорией уравнений с частными производными, ведущей свое начало с классической работы А. Н. Колмогорова «Аналитические методы в теории вероятностей».
Теория стохастического интегрирования оттачивалась во многом на случайных процессах, являющихся решениями стохастических дифференциальных уравнений, представляющих, как сейчас бы сказали, частный случай семимартингалов — того широкого класса случайных процессов, для которых стохастическое исчисление дает мощный метод их анализа.
Вторая глава посвящается именно теории стохастических дифференциальных уравнений, а также стохастическим эволюционным уравнениям и стохастическому исчислению вариаций (или исчислению Маллявэна), являющегося весьма эффективным вероятностным аппаратом изучения в теории уравнений с частными производными, теоретической физике, эргодической теории.
