Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Векторное исчисление и начала тензорного исчисления
Автор: Кочин Н.Е.Издательство: М.: Наука
Год издания: 1965
Страницы: 427
Читать: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144
Скачать:
академия наук cc
Н. Е. К О Ч И H
ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
И НАЧАЛА
ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
ИЗДАНИЕ ДЕВЯТОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» Москва - 1965Настоящее девятое издание книги акад. Н. Е. Кочина «Векторное исчисление а начала тензорного исчисления» перепечатано с матриц восьмого кздання.
Ответственный редактор академик П. Я. К О Ч И H АПРЕДИСЛОВИЕ К СЕДЬМОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящее издание является перепечаткой шестого издания с той разницей, .что нами изменены обозначения скалярного я векторного произведений, упрощена система знаков препинания й устранены замеченные ошибки и опечатки.
Я. Кочина.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящее пособие имеет своей целью дать изучающим его, главным образом студентам вузов и втузов, необходимые сведения по векторному исчислению для того, чтобы можно было в дальнейшем изучать векторным способом другое дисциплины, как, например, теоретическую механику, гидромеханику, теорию электричества.
Курс снабжен большим количеством задач геометрического и элементарно-механического характера, помогающих лучшему усвоению понятий и методов векторного исчисления.
Я. Кочин.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящее издание значительно расширено по сравнению с предыдущими. В частности, в целях иллюстрации понятий векторного анализа, введен ряд примеров физического характера.
Основу курса составляют главы о векторной адгебре и векторном анализе. В третьей и четвертой главах даны основы теории аффинных ортогональных тензоров с применением ее к теории упругости а основные элементы общей теории тензоров.
Н. Кочин.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ И ШЕСТОМУ ИЗДАНИЯМ
Настоящее издание почти не отличается от предыдущего; в текст внесены некоторые исправления и устранен ряд замеченных опечаток.
Н. Кочин.ГЛАВА Г
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
§ 1. Определение скаляра и вектора. Равенство векторов
1. В математике и физике (в частности, в механике) приходится иметь дело с величинами двух родов: одни из величин связаны с понятием о направлении в пространстве, другие же имеют чисто числовой характер и не связаны с понятием о направлении. Рассмотрим, например, температуру, массу, плотность, энергию, перемещение точки, скорость, ускорение, силу. Резкое отличие последних четырех величин от первых четырех состоит в том, что с ними должно быть связано понятие о направлении: например, точка может перемещаться вверх или вниз, вперед или назад и т. д. Первые четыре величины, не связанные с понятием о направлении, принадлежат к классу величин, называемых скалярами. Остальные четыре величины, имеющие определенное направление, относятся к классу величин, называемых векторами.
Рассмотрим один из скаляров — температуру. Чтобы охарактеризовать температуру воздуха в данном месте в некоторый момент, мы должны измерить температуру, например, в градусах Цельсия, полученное число (положительное или отрицательное) даст величину температуры. Точно так же мы можем измерить в соответствующих единицах массу тела, его плотность и т. д. -Поэтому мы можем дать следующее определение скаляра:
Скаляром называется величина, характеризующаяся. при выбранной единице меры одним числом-
Наиболее типичным скаляром является отвлеченное число. Другие примеры скаляров мы уже указывали: температура, масса, плотность, энергия.
Остановимся несколько на вопросе о сравнении и равенстве скаляров. Очевидно, нельзя сравнивать температуру и массу или температуру и плотность а т. д. Обе сравниваемые величины непременно должны обладать одинаковой размерностью, т. е. единицы их меры должны быть одинаковым образом связаны с основными единицами. В механике за основные единицы принимают единицу длины (символ L), единицу массы (символ M) и единицу времени (символ Т) (вместо единицы массы в технической системе мер вводят в качестве основной единицу силы). Тогда,6
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Гл. I
например, плотность будет иметь размерность M LTибо единица плотности есть плотность однородного тела, имеющего объем, равный единице, при условии, что масса этого тела также равна единице. Поэтому, при увеличении единицы массы, например, в два раза, единица плотности также увеличивается в два раза; яри увеличении же единицы длины в два раза единица плотности уменьшается в восемь раз. Символ МІГ* выражает только что указанную зависимость единицы плотности от основных единиц.
Два скаляра одной и тай же размерности равны, если при измерении их одной и той же единицей мери получаются одинаковые числа.
Рассмотрим теперь один из векторов — скорость точки. Указания величины скорости, измеренной, скажем, в сантиметрах в секунду, недостаточно для характеристики скорости. Нужно еще задать направление движения точки. Точно так же имеют определенное направление и ускорение точки и сила, действующая на некоторую материальную точку. Дадим поэтому следующее определение:
Вектором называется величини, характеризующаяся, помимо измеряющего ее е определенных единицах меры, числа, еще своїй» направлением в пространстве.
Как простейшим скаляром является отвлеченное число, так простейшим вектором является прямолинейный отрезок AB, имеющий определенную величину — длину AB и определенное направление — от начальной точки А к конечной точке В.