Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Так как объемные заряды отсутствуют, то согласно уравнениям (40) н (41) электрический потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа
Дф = 0 (43)
Далее, так как внутри проводников E = — grad ф = 0, следовательно, Ф = const, то на поверхности каждого проводника потенциал должен принимать постоянное значение:
Ф = const — фі на поверхности
Ji (46)
Мы видим, что задача привелась к решению задачи Дирихле. Однако нужно иметь в виду, что числа фі не даны нам, так как нам заданы только заряды е4, которые определяются следующим образом
(47) 252
векторный анализ
Гл. TI
Решив при этих условиях задачу Дирихле, по формуле (44) определим распределение электричества на каждом проводнике.
9. В п. 1 мы указали, что потенциалом поля одного источника является
Ф--4 <48)
далее в п. 2, формула (7), мы нашли для потенциала поля дублета выражение
где Si есть направление момента дублета.
Представим себе теперь, что мы имеем в двух бесконечно близких точках Q1 и Q1' два дублета с прямо противоположными моментами — m и H- m и пусть QiQ3 = es»; где Ss — единичный вектор, определяющий направление от ^s к Qs', а е — расстояние между точками Qz и Qz'. Будем теперь сближать точки Q3 и Qt' и одновременно так увеличивать, момент дублетов ю, чтобы произведение те стремилось бы в конечной величине к. Рассуждением, совершенно аналогичным тому, которое привело нас к формуле (7), мы докажем, что в пределе получится функция
к а 9 4 / с п\
tP = " IS-^T^TT (5°)
характеризующая поле квадруплета. Очевидно, по тому же пути можно идти и дальше, строя различного рода мулътиплеты. Так как функция у удовлетворяет уравнению Лапласа
ДІ--0 (51)
то и функции
31 з а і „
будут удовлетворять этому уравнению. Заметим при этом, что, полагая г = У(х - I)2 H- (у - цУ + (z - O2
мы должны при образовании ~ и т. д. считать переменными координаты I, т), ? точки Qi а при вычислении Дф считать переменными координаты X, у, 2 точки Р. Однако, так как
S1^gradq у = —si-gradpi-
то функции
31 Ь д і * = aiTT' T^-STT-••• <53)
в которых переменными считаются всюду координаты точки P (х, у, z), будут при четном числе дифференцирования совпадать, а при нечетном различные векторные поля
253
числе дифференцирований будут только знаком отличаться от функций (52). Положим для простоты ? = г]=? = Ои введем сферические координаты г, 0, ф с центром в точке О. Функции (53) имеют следующий вид:
д«ь ds
к—і
д as.
а і
Ss1 T
ук (S. Ч>) г*-н
(54)
Для доказательства заметим, что в силу решения задачи (141), мы имеем
ЗФ . , , m 1 дФ , /и1
= cos (s, Г)-?Г + cos(s, 0) т w + cos (з, _
легко поэтому И8 формулы
а э і _ Yk-I (9. Ф)
ds,f_j " ' ds, г г"
вывести формулу (54) и, следовательно, по индукции заключить о справедливости этой формулы (54). Полученные нами функции Yk (9, ф) носят название сферических функций. Можно показать, что каждой сферической функции соответствует свой мультЕШлет и обратно.
10. В случае плоского ноля, т. е. поля вектора а, параллельного плоскости ху и не зависящего от координаты z, все понятия, рассмотренные в этом параграфе, сохраняют свою силу, конечно, соответственным образом видоизменяясь.
Сделаем по этому поводу несколько замечаний. В п. 1 мы видели, что происходящий от источника обильности е вектор а определяется формулой
Возьмем теперь точку Qb (?, Tl) плоскости ху и проведем через эту точку прямую, параллельную оси OZ (фиг. 78). Распределим на этой прямой источники равномерно и притом так, чтобы на единицу длины приходилась обильность источников, равная е, и подсчитаем происходящее от
этих источников поле. Совершенно очевидно, что это ноле будет плоским. Взяв теперь точку P (х, у) и обозначив вектор QnP через R, будем иметь, r=R
Фиг. 78
г = у ?а + R\
Jk и, следовательно,
СО OO
, = _?_ [ = *ft [ 4Я J у (ДЗ + ?2)8 in J
eR
4лД* [уйГ+р]^
?=-(-00
—iL— =
(R* + ?2)V' eR
2л Л2
(56) 254
векторный анализ
Гл. TI
Вектор а является потенциальным вектором
a = grad<p (57)
причем
= 1S TT (58)
Формулы (57) и (58) определяют, как легко видеть, источник обильности е в точке Q0 плоскости ху. В самом деле, вне источника поле всюду соленоидальное, ибо в плоскости
div grad lg-i- - Alg -Jr = Ig-Jr-0
Бели же составить поток вектора а череа окружность радиуса R в центром в точке Qa, то он окажется равным, в силу формулы (56):
Мы могли бы, конечно, сразу получить выражение (58) для источника обильности е, но мы хотели показать, как к этому выражению можно прийти, исходя иа источников в пространстве.
Поступая теперь аналогично тому, как мы это делали в п. 2, можно прийти к потенциалу дублета в плоскости:
т д , 1 1 т cos а ,.п,
V--IЩ-ИГЬ-^-ег—Г- №
Точно так же, рассматривая вихревую нить, параллельную оси Oz, проходящую через точку Qo, напряжение которой равно Г, нетрудно убедиться, исходя из формул (29) и (31), что получится плоское поле вектора а, направленного перпендикулярно вектору R и но величине равного
