Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Впоследствии мы докажем и достаточность условия (33) для сохраняемости векторных линий вектора а. 266
векторный анализ
Гл. TI
6. В качестве простого примера выведем условия сохраняемости линий тока. Лцниями тока называются векторные линии вектора скорости v, так что ах дифференциальными уравнениями являются
dx dy dz
»X af. 0 — vV У. г. ') ~ »i (*. У, О
Полагая в формуле (33) а = v и замечая, что цо уравнению (2)
rfv , dv
--(VV)V = ^r
можем переписать условие сохраняемости линии тока в виде
ду
ы
или
(35)
Xv = O (36)
= ^v (37)
где X. (г, і) — скалярная функция координат и времени. Введем вместо X другую функцию р. (г, t) равенством
1 _ _ 1 ^Ml Jvtt
А--зі— T dt • р -е
и положим
v = (jlw
Тогда для определения w получим уравнение ой , 9* .
-^rw + V- Ж = ^w
или
dt
Отсюда видно, что w не зависит от < и является, следовательно, функцией только от X, у, Z. Итак, общим решением уравнеяия (36) является
v (г, /) = и (г, t) w (г) (38)
где р — произвольная скалярная функция от г и t, a w (г) — произвольная векторная функция от г. При этом уравнения линии тока (35) принимают вид
dx dy di
іo1 (ж, у, г)"" Wy (х, у, г) ~ в>2 (г, у, г)
Отсюда видно, что линии тока не зависят от времени и следовательно являются неподвижными.
Итак, мы нашли все движения, в которых сохраняются линии тока, в показали, что в этих движениях линии тока являются неподвижными линиями в пространстве.
В качестве второго примера рассмотрим вихревые линии, т. е, векторные ляіши вектора Q = rot v — вихря скорости жидкости. переменные поля в сплошной среде
267
В § 17 мы доказали, что если идеальная жидкость находится под действием консервативных сил и обладает тем свойством, что плотность жидкости является функцией от давления, то вектор Q удовлетворяет уравнению
^r-(Q-V)V + Q div V =0 (39)
Сравнивая это уравнение с (28), мы можем теперь выяснить, что, собственно, означает уравнение (39). Оно выражает, что вихревые линии обладают свойством сохраняемости, причем интенсивности вихревых трубок также остаются с течением времени неизменными
Итак, мы доказали теорему Гельмгольцаї в баротропной идеальной жидкости, находящейся под действием консервативных сил, как вихревые линии, так и интенсивности вихревых трубок обладают свойством сохраняемости.
7. Проведем теперь вычисление полной производной от линейного интеграла вектора а по какой-либо незамкнутой кривой К (фиг. 83):
= U
dt (40)
Полное изменение этого интеграла за промежуток времени dt слагается из двух частей; одна часть, происходящая от изменения вектора а за время dt на величину
4г*
очевидно, равна
dih - \ ^ • dt (41)
к
вторая же часть, происходящая от изменения жидкого контура за промежуток времени dl, равна, очевидно,
dj1 = Ja -dr я-dt (42)
где Ki — положение жидкого контура к моменту t jT dt. Если конечные точки контура К суть А и В, а конечные точки • контура Ki — А' и JS', то, принимая еще направление контура Ki от А' к В' за положительное, мы увидим, что контуры Ki, В'В = — vB dt,- К и AA' = vA dt образуют замкнутый контур, ограничивающий некоторую поверхность 2.
Применим к этому контуру формулу Стокса:
^ rot а • dH = ^ а • dt — ^ а • dr — ав • vB dt + аА • vAdt (43) л к, k 268
векторный анализ
Гл. TI
Заметим теперь, что, как видно из фиг. 83, элемент поверхности offi представляется по величине и направлению вектором
а! 2 = V dtxdr
и поэтому
^rot а-<22 = rot a-(v dtxdr) — dt\ (rot axv)-rfr
EK k
В силу этой формулы и в силу (43) равенство (42) принимает вид
<Vі = dt ^ (rot axv)-dr + aB-vB — aA.vAJ (44)
к
и следовательно, мы получаем следующее выражение для полной производной от линейного интеграла
a.dr = ^ ^ -H (rot axv)).dr a?.vB — aA-vA (45)
K K
Если контур К замкнутый, то точки В и А совпадают, и поэтому предыдущая формула сильно упрощается
a-dr = ф + (rot axv))-& (46)
к к
В случае незамкнутого контура К формуле (45) можно дать другой вид. Для этого воспользуемся очевидным равенством
ав*Vc — aA-vA = ^ grad (a-v)-dr (47)
к
тогда вместо (45) получим
-Jj a-dr = ^ -(- rot axv +grad (a-v)).rfr (48)
d dt
К к
Подынтегральному выражению можно придать другой вид, если воспользоваться формулой из § 17:
grad (a-v) = (v-V)a + (a-V)v + ах rot v + v x rot a
В самом деле, мы получаем
^ + rot axv + grad (a«v) = + (v V) a + (a. V) v + ax rot v
На основании формулы (2) первые два члена справа можно соединить вместе, так что получится
+rot axv + grad (a*v) = + (a-V) v + ax rot v
и значит
d "dl
^ a-rfr = ^il + (a . V) V + ax rot v).<fr (49) переменные поля в сплошной среде
269
8. В качестве применения последней формулы рассмотрим вопрос об изменении циркуляции скорости В "ЖИДКОСТИ. С этой целью положим в (49) а = V и заметим, что по § 17 (10) мы имеем формулу
Vі
(V-V) + VX rot V = grad -g-Поэтому из (19) получаем
JL\ v.dr = J . dt + Ї grad -f.* (50)
KK к
